5. Rút gọn các biểu thức dưới đâya, $(1+\sqrt{2})^{3}+(1-\sqrt{2})^{3}$;b, $\sqrt[3]{1...

Để giải các biểu thức trên, chúng ta thực hiện các bước như sau:

a) $(1+\sqrt{2})^{3} + (1-\sqrt{2})^{3}$
Đặt \(a = 1+\sqrt{2}\) và \(b = 1-\sqrt{2}\), ta có
\((1+\sqrt{2})^{3} = a^{3} = a(a^{2}) = a(a^{2}) = a^{3} = 1+3a+3a^{2}\),
\((1-\sqrt{2})^{3} = b^{3} = b(b^{2}) = b(b^{2}) = b^{3} = 1-3b+3b^{2}\).
Do đó, \( (1+\sqrt{2})^{3} + (1-\sqrt{2})^{3} = (1+3a+3a^{2}) + (1-3b+3b^{2}) = 2+3(a+b) = 2+3(1) = 5\).

b) \(\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}\)
Ta viết \(10+6\sqrt{3}\) dưới dạng \(a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\), với \(a = 1\), \(b = \sqrt{3}\).
Khi đó, \(\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} = \sqrt[3]{(1+\sqrt{3})^{3}} = 1+\sqrt{3}\).

c) \(\frac{4+2\sqrt{3}}{\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}}\)
Chúng ta có thể nhận thấy rằng \((4+2\sqrt{3})(1+\sqrt{3}) = (4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+6) = 10+6\sqrt{3}\). Do đó,
\(\frac{4+2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} = 1+\sqrt{3}\).

d) \(\sqrt{3+\sqrt{3}+\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}}\)
Từ các phần trước, ta đã biết rằng \(\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} = 1+\sqrt{3}\).
Do đó, \(\sqrt{3+\sqrt{3}+\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}} = \sqrt{3+\sqrt{3}+1+\sqrt{3}} = \sqrt{1+2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{(1+\sqrt{3})^{2}} = 1+\sqrt{3}\).

Vậy kết quả là:
a) \(5\)
b) \(1+\sqrt{3}\)
c) \(1+\sqrt{3}\)
d) \(1+\sqrt{3}\)