Giải bài tập phát triển năng lực toán lớp 9 bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (tiếp theo)

Câu 1: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a, $\frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$;                 b, $\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$;

c, $\frac{1}{2-\sqrt{5}}$;                         d, $\frac{6}{\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}}$.

Câu 2: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a, $\frac{1}{3+\sqrt{5}}+\frac{1}{3-\sqrt{5}}$;

b, $\frac{10+2\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{8}{1-\sqrt{5}}$;

c, $\frac{4}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}-2}+\frac{6}{\sqrt{3}-3}$;

d, $\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$;

e, $\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}+\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}$;

f, $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}$.

Câu 3: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a, $\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+1$ với $x\geq 0,x\neq 1$;

b, $\frac{(2+\sqrt{3x})^{2}-(\sqrt{3x}+1)^{2}}{2\sqrt{3x}+3}$ với $x\geq 0$;

c, $\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{4-x}$ với $x\geq 0,x\neq 4$;

d, $\frac{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2}}$ với $x\geq \frac{1}{2}$;

e, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$ với $x\geq 0$;

f, $\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{x-\sqrt{1+x^{2}}}+2x$.

Câu 4: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1

Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của n ta luôn có:

$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$.

Từ đó tính tổng S = $\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}$.

Câu 5: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1

Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của n ta luôn có:

$\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}}=|1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}|$

Từ đó tính tổng:

S = $\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2018^{2}}+\frac{1}{2019^{2}}}$.