Câu 4: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của...

Để giải câu hỏi trên, ta chứng minh trước công thức $\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ như sau:

Ta có:
$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$
$=\frac{(n+1)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{[(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}].[(n+1)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}]}$
$=\frac{(n+1)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{(n+1)^{2}.n-n^{2}.(n+1)}$
$= \frac{(n+1)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{(n+1).n.(n+1-n)}$
$= \frac{(n+1)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n(n+1)}$
$=\frac{(n+1)\sqrt{n}}{n(n+1)}-\frac{n\sqrt{n+1}}{n(n+1)}$
$= \frac{\sqrt{n}}{n}-\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$
$=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

Sau khi chứng minh công thức trên, ta áp dụng công thức vào tổng cần tính:
$S = \frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}$
$ = \frac{1}{(1+1).\sqrt{1}+1.\sqrt{1+1}}+\frac{1}{(2+1)\sqrt{2}+2\sqrt{2+1}}+\frac{1}{(3+1)\sqrt{3}+3\sqrt{3+1}}+...+\frac{1}{(99+1)\sqrt{99}+99\sqrt{99+1}}$
$ = \frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}$
$ = 1-\frac{1}{\sqrt{100}} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

Vậy kết quả của tổng S là $\frac{9}{10}$.