Câu 5: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của...
Câu hỏi:
Câu 5: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1
Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của n ta luôn có:
$\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}}=|1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}|$
Từ đó tính tổng:
S = $\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2018^{2}}+\frac{1}{2019^{2}}}$.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Phương
Để chứng minh phương trình ban đầu, ta thực hiện bước chứng minh như sau:Ta có:$(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})^2$ $= (\frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1})^2$$= (\frac{n+1}{n})^2 - 2(\frac{n+1}{n})(\frac{1}{n+1}) + (\frac{1}{n+1})^2$$= \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2} - 2\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2}$$= 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} - 2\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2}$$= 1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}$$=> \sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}} = \sqrt{(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})^2} = |1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}|$Từ đó, ta tính tổng S:$S = \sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}} + \sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}} + \sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}} + ... + \sqrt{1+\frac{1}{2018^2}+\frac{1}{2019^2}$$= |1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}| + |1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}| + |1+\frac{1}{4}-\frac{1}{4+1}| + ... + |1+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2018+1}|$$= 1 + 2017 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2019}$$= 2017 + \frac{2017}{2019}$$= 2017(1+\frac{1}{2019})$$= \frac{2017 \cdot 2020}{2019}$Vậy, tổng S cần tính là $\frac{2017 \cdot 2020}{2019}$.
Câu hỏi liên quan:
- Câu 1: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:a...
- Câu 2: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1Rút gọn các biểu thức:a...
- Câu 3: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1Rút gọn các biểu thức sau:a...
- Câu 4: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của...
{ "content1": "Ta có $\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}}=|1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}|$", "content2": "Đặt $a_{n}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$, ta có $a_{n}=\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)}$", "content3": "Khi tính tổng $S$, ta thấy các phần tử trong dấu căn đều phân số có dạng $\frac{1}{n^{2}}$, $\frac{1}{(n+1)^{2}}$ với dãy số $n$", "content4": "Áp dụng kết quả ở trên, ta có $S=\sum_{n=1}^{2018}(\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)})$", "content5": "Với từng giá trị $n$, ta tính được giá trị của $a_{n}$, sau đó tính tổng của dãy số $a_{n}$ theo công thức đã tính được."}