Câu 3: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1Rút gọn các biểu thức sau:a...
Câu hỏi:
Câu 3: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1
Rút gọn các biểu thức sau:
a, $\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+1$ với $x\geq 0,x\neq 1$;
b, $\frac{(2+\sqrt{3x})^{2}-(\sqrt{3x}+1)^{2}}{2\sqrt{3x}+3}$ với $x\geq 0$;
c, $\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{4-x}$ với $x\geq 0,x\neq 4$;
d, $\frac{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2}}$ với $x\geq \frac{1}{2}$;
e, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$ với $x\geq 0$;
f, $\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{x-\sqrt{1+x^{2}}}+2x$.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Ngọc
Phương pháp giải câu hỏi trên như sau:
a) Để rút gọn $\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+1$, chúng ta sẽ chia từng phần tử cho mẫu số chung $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)$.
Ta có: $\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+1 = \frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} + \frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} + 1 = \frac{2\sqrt{x}}{x-1} + 1$.
b) Để rút gọn $\frac{(2+\sqrt{3x})^{2}-(\sqrt{3x}+1)^{2}}{2\sqrt{3x}+3}$, ta giải bình phương và rút gọn biểu thức.
Ta được: $\frac{(2+\sqrt{3x})^{2}-(\sqrt{3x}+1)^{2}}{2\sqrt{3x}+3} = \frac{2\sqrt{3x}+3}{2\sqrt{3x}+3} = 1$.
c) Để rút gọn $\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{4-x}$, chúng ta nhân và chia từng phần tử cho mẫu số chung.
Ta tính được: $\frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}-\frac{2(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}-\frac{\sqrt{x}}{4-x} = \frac{6}{4-x}$.
d) Để rút gọn $\frac{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2}}$, ta sẽ tính căn bậc hai của biểu thức trong mẫu.
Ta có: $\frac{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2x-1}+1}{2}$.
e) Để rút gọn $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$, chúng ta sẽ nhân và chia từng phần tử cho mẫu số chung.
Ta tính được: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} + \frac{\sqrt{a}}{1+\sqrt{a+1}} = 2\sqrt{a(a+1)}$.
f) Để rút gọn $\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{x-\sqrt{1+x^{2}}}+2x$, chúng ta cộng hai phân số rồi rút gọn biểu thức.
Ta tính được: $\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{x-\sqrt{1+x^{2}}} + 2x = 0$.
Vậy, câu trả lời cho câu hỏi trên như sau:
a) $\frac{2\sqrt{x}}{x-1} + 1$
b) $1$
c) $\frac{6}{4-x}$
d) $\frac{\sqrt{2x-1}+1}{2}$
e) $2\sqrt{a(a+1)}$
f) $0$
a) Để rút gọn $\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+1$, chúng ta sẽ chia từng phần tử cho mẫu số chung $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)$.
Ta có: $\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+1 = \frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} + \frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} + 1 = \frac{2\sqrt{x}}{x-1} + 1$.
b) Để rút gọn $\frac{(2+\sqrt{3x})^{2}-(\sqrt{3x}+1)^{2}}{2\sqrt{3x}+3}$, ta giải bình phương và rút gọn biểu thức.
Ta được: $\frac{(2+\sqrt{3x})^{2}-(\sqrt{3x}+1)^{2}}{2\sqrt{3x}+3} = \frac{2\sqrt{3x}+3}{2\sqrt{3x}+3} = 1$.
c) Để rút gọn $\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{4-x}$, chúng ta nhân và chia từng phần tử cho mẫu số chung.
Ta tính được: $\frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}-\frac{2(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}-\frac{\sqrt{x}}{4-x} = \frac{6}{4-x}$.
d) Để rút gọn $\frac{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2}}$, ta sẽ tính căn bậc hai của biểu thức trong mẫu.
Ta có: $\frac{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2x-1}+1}{2}$.
e) Để rút gọn $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$, chúng ta sẽ nhân và chia từng phần tử cho mẫu số chung.
Ta tính được: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} + \frac{\sqrt{a}}{1+\sqrt{a+1}} = 2\sqrt{a(a+1)}$.
f) Để rút gọn $\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{x-\sqrt{1+x^{2}}}+2x$, chúng ta cộng hai phân số rồi rút gọn biểu thức.
Ta tính được: $\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{x-\sqrt{1+x^{2}}} + 2x = 0$.
Vậy, câu trả lời cho câu hỏi trên như sau:
a) $\frac{2\sqrt{x}}{x-1} + 1$
b) $1$
c) $\frac{6}{4-x}$
d) $\frac{\sqrt{2x-1}+1}{2}$
e) $2\sqrt{a(a+1)}$
f) $0$
Câu hỏi liên quan:
- Câu 1: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:a...
- Câu 2: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1Rút gọn các biểu thức:a...
- Câu 4: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của...
- Câu 5: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của...
{
"content1": {
"a": "$\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+1 = \frac{\sqrt{x}-1+\sqrt{x}+1+(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} = \\ \frac{2\sqrt{x}}{x-1}$"
},
"content2": {
"b": "$\frac{(2+\sqrt{3x})^{2}-(\sqrt{3x}+1)^{2}}{2\sqrt{3x}+3} = \\ \frac{4 + 4\sqrt{3x}+3x - (3x + 2\sqrt{3x} + 1)}{2\sqrt{3x}+3} = \\ \frac{x+2\sqrt{3x}+3}{2\sqrt{3x}+3} = 1$"
},
"content3": {
"c": "$\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{4-x} = \\ \frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\\ \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)} = \\ -\frac{4}{x-4}$"
},
"content4": {
"d": "$\frac{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2}} = \\ \frac{\sqrt{\frac{4x-1+2\sqrt{2x-1}}{2}}}{\sqrt{2}} = \\ \sqrt{\frac{4x-1+2\sqrt{2x-1}}{4}} = \\ \sqrt{x+\frac{1}{2}}$"
},
"content5": {
"e": "$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}} = \\ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})+\sqrt{a}(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})}{(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})} = \\ \frac{2\sqrt{a+1}}{1} = 2\sqrt{a+1}$"
},
"content6": {
"f": "$\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{x-\sqrt{1+x^{2}}}+2x = \\ \frac{x-\sqrt{1+x^{2}}+x+\sqrt{1+x^{2}}+2x(x+\sqrt{1+x^{2}})(x-\sqrt{1+x^{2}})}{(x+\sqrt{1+x^{2}})(x-\sqrt{1+x^{2}})} = \\ \frac{2+2x\sqrt{1+x^{2}}}{x^{2}-1} = \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ = \\frac{2(1+x^{2})}{x^{2}-1} = \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ = \\frac{2x^{2}+2}{x^{2}-1} = 2$"
}
}