Giải bài tập phát triển năng lực toán lớp 9 bài tập tổng hợp: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (hình 5.21)

a, Giả sử AC = 12cm, AB = 10cm. Giải tam giác AHB.

b, Chứng minh:

i. cosC.cosB = $\frac{HB}{BC}$

ii. BC = AB.cosB + AC.CosC

iii. tanB.sinB = $\frac{HC}{AB}$

iv. S_ABC = $\frac{1}{2}$.AC.BC.sinC = $\frac{1}{2}$.BA.BC.sinB.

v. AB + AC $\leq \sqrt{2}$.BC

vi. $tan\frac{\widehat{ACH}}{2}=\frac{AH}{HC+AC}$

c, Kẻ HE $\perp $ AB, HF $\perp $ AC.

i. Chứng minh AH = EF

ii. Chứng minh AF.AC = HB.HC = AE.AB = AH$^{2}$ = EF$^{2}$.

iii. Chứng minh $\widehat{AEF}=\widehat{ACB}$; $\widehat{AFE}=\widehat{ABC}$.

iv. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh AO $\perp $ EF.

v. Kẻ ET $\perp $ EF; FS $\perp $ EF (T $\in $ BH; S $\in $ HC). Chứng minh SH = SC = $\frac{1}{2}$HC; TH = TB = $\frac{1}{2}$HB.

vi. Chứng minh S_EFST = $\frac{1}{2}$S_ABC

vii. Qua B kẻ tia Bx  $\perp $ AB cắt tia AH tại K, qua C kẻ tia Ay $\perp $ Ac cắt tia AH tại G. Chứng minh HB.HC = HK.GH = AH$^{2}$; HA.HK = BA.BE = BH$^{2}$

2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Phân giác trong của góc BAC cắt BC tại I.

a, Kẻ phân giác ngoài của góc BAC cắt BC tại D. Chứng minh $\left | \frac{1}{AB}-\frac{1}{AC} \right |=\frac{\sqrt{2}}{AD}$.

b, Gọi J là điểm cố định thuộc phân giác trong của góc A, đường thẳng d qua J cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh $\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}$ không đổi.

c, Kẻ tia Bz và Bài tập lần lượt là các phân giác trong và phân giác ngoài của góc ABC. Kẻ AN vuông góc với Bài tập, N thuộc Bài tập. Kẻ AM vuông góc với Bz, M thuộc Bz. Chứng minh MN // BC.

3. Cho tam giác ABC có BC = 2a không đổi, điểm A di chuyển sao cho $\widehat{BAC}=90^{0}$.

a, Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.

b, Tìm giá trị lớn nhất của EF.

c, Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF.

d, Lấy các điểm M₁ $\in $ AB, M₂ $\in $ AC; M₃, M₄ $\in $ BC sao cho M₁M₂M₃M₄ là hình chữ nhật. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình M₁M₂M₃M₄

4. Bác Lâm có một mảnh vải thừa hình tam giác vuông có kích thước hai cạnh góc vuông lần lượt là 1m và 2,5m. Bác muốn tận dụng cắt ra một miếng vải hình chữ nhật có một cạnh thuộc cạnh huyền của mảnh vải ban đầu. Em hãy giúp bác tìm cách cắt dược mảnh vải hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. (Gợi ý: Áp dụng kết quả của bài 3d)