Giải bài tập phát triển năng lực toán lớp 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Cho hình 2.4:

a, Em hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc C.

b, Em hãy nối mỗi ý ở cột I với một ý ở cột II để được hai vế của mộ đẳng thức đúng.

2. a, Sử dụng kết quả của hoạt động 2a, chứng minh rằng: Với góc nhọn $\alpha $ tùy ý, ta có

$1+tan^{2}\alpha =\frac{1}{cos^{2}\alpha }$ ; $1+cot^{2}\alpha =\frac{1}{sin^{2}\alpha }$

b, Tính các tỉ số lượng giác của góc B, biết rằng cosB = 0,6.

c, Cho $tan\alpha =\frac{1}{2}$. Tính $A=\frac{cos\alpha +sin\alpha }{cos\alpha -sin\alpha }$ theo ba cách:

Cách 1: Từ $tan\alpha =\frac{1}{2}$, tính các tỉ số $sin\alpha $ và $cos\alpha $ rồi thay vào biểu thức A.

Cách 2: Từ $tan\alpha =\frac{1}{2}$, biểu thị $sin\alpha $ theo $cos\alpha $, thay vào biểu thức A rồi rút gọn.

Cách 3: Biến đổi biểu thức $A=\frac{cos\alpha +sin\alpha }{cos\alpha -sin\alpha }$ theo $tan\alpha $ rồi thay $tan\alpha =\frac{1}{2}$.

d, Sử dụng két quả của hoạt động 2a, 2b, tính nhanh các giá trị biểu thức sau:

$A=sin^{2}25^{0}+sin^{2}35^{0}+sin^{2}45^{0}+sin^{2}55^{0}+sin^{2}65^{0}$

$A=cos^{2}25^{0}-cos^{2}35^{0}+cos^{2}45^{0}-cos^{2}55^{0}+cos^{2}65^{0}$

3. a, Không dùng máy tính, điền dấu (>; <; =) thích hợp vào chỗ chấm:

sin15$^{0}$ ........ sin27$^{0}$;               sin23$^{0}$15' ................ cos37$^{0}$;

tan50$^{0}$15' ........ tan37$^{0}$;          cot72$^{0}$ ................ cot25$^{0}$3';

sin25$^{0}$ ........ cos25$^{0}$;               tan55$^{0}$15' ................ cot55$^{0}$;

sin25$^{0}$ ........ co65$^{0}$;                 cot72$^{0}$ ................ cot18$^{0}$;

b, Sử dụng máy tính bỏ túi tìm các tỉ số lượng giác trong câu a, từ đó kiểm tra két quả câu a.

c, Không dùng máy tính, sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần:

sin15$^{0}$; cos25$^{0}$; sin36$^{0}$; cos50$^{0}$; sin62$^{0}$.

d, Không dùng máy tính, sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần:

tan25$^{0}$; cot33$^{0}$; tan42$^{0}$; cot64$^{0}$; tan89$^{0}$.

e, Với $\alpha $ là một góc nhọn, hãy so sánh:

sin$\alpha $ và tan$\alpha $; cos$\alpha $ và cot$\alpha $.

4. Hình 2.5 là hình ảnh ngọn hải đăng Tiên Nữ cao 22,1m, được xây dựng vào năm 2000 tại đảo Tiên Nữ thuộc quần đảo Trường Sa, huyện Trường Sa, tình Khành Hòa. Ngoài nhiệm vụ đảm bảo an toàn hàng hải trong khu vực quần đảo, ngọn hải đăng này còn là cột mốc chủ quyền của Tổ quốc trên Biển Đông. Một con tàu nhìn thấy ngọn hải đăng Tiên Nữ theo một góc là $\alpha $ và cách ngọn hải đăng một khoảng là s.

Hình 2.5

a, Em hãy biểu diễn các tỉ số lượng giác tan$\alpha $; cot$\alpha $ theo chiều cao của ngọn hải đăng và khoảng cách từ con tàu đến ngọn hải đăng.

b, Khi $\alpha =1^{0}15'$ thì con tàu cách ngọn hải đăng bao nhiêu mét.

5. Bác An lên kế hoạch xây một ngôi nhà cấp bốn có một mái dốc như hình 2.6. Biết chiều rộng của sàn nhà là 4m, chiều dài của sàn nhà là 7m.

a, Giả sử bức tường phía sau của nhà cao hơn bức tường phía trước là 2,5m.

i. Em hãy tính xem mái nhà dốc bao nhiêu độ.

ii. Bác dự định mua tôn để lợp nhà, hỏ bác cần mua ít nhất bao nhiêu mét vuông tôn.

b, Trong lúc dự tính chọn mua nguyên vật liệu, bác An được biết rằng để cho mái nhà thoát nước tốt, không bị đọng nước và thấm dột thì với mỗ một chất liệu lợp nhà, mái nhà cần có độ dốc thích hợp. Bác chọn mua mái tôn múi (hình 2.6) và được tư vấn độ dốc mái nhà là 25$^{0}$. 

i. Em hãy tính xem bác cần xây bức tường phía sau cao hơn bức tường phía trước bao nhiêu mét?

ii. Bác cần mua ít nhất bao nhiêu mét vuông tôn loại trên để lợp nhà?

6. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AH, BK, CN.

a, Hãy biểu thị cosA theo hai cách, từ đó chứng minh $\Delta ANK\sim \Delta ACB$

b, Giả sử $\widehat{BAC}=45^{0}$, chứng minh rằng S_ANK = S_BNKC.

c, Tính S_ANK theo S_ABC và tỉ số lượng giác của góc BAC, từ đó tính góc BAC trong trường hợp 3.S_ANK = S_BNKC.

d, Chứng minh rằng S_NKH = $(1 - cos^{2} A - cos^{2} B - cos^{2} C)$.S_ABC