5. a, Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH.i, Tính AH theo các cạnh và các góc của tam giác ABC, từ...

Phương pháp giải:

a, i, Ta có AH = AC.sinC = AB.sinB\(\widehat{A}H = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2}BC.AB.sinB\)

ii, SABC = \(\frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2}BC.AC.sinC\). Kẻ CI vuông góc với AB, ta có SABC = \(\frac{1}{2}AB.CI = \frac{1}{2}AB.AC.sinA\)

iii, BC = BH + HC = AB.cosB + AC.cosC

b, i, Ta có SMNP = SMNE + SMEP. Ta có sin\(\widehat{NME}\) = sin\(\widehat{EMP}\) = \(\frac{90^{0}}{2}\) = 45\(^{0}\).

SABC = \(\frac{1}{2}\)MN.MP, SMNE = \(\frac{1}{2}\)MN.ME.sin\(\widehat{NME}\) = \(\frac{1}{2}\)MN.ME.sin\(45^{0}\) = \(\frac{1}{2}\)MN.ME.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{4}\)MN.ME

SMEP = \(\frac{1}{2}\)MP.ME.sin\(\widehat{EMP}\) = \(\frac{1}{2}\)MP.ME.sin\(45^{0}\) = \(\frac{1}{2}\)MP.ME.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{4}\)MP.ME

Khi đó, SABC = SMNE + SMNE \(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{2}\)MN.MP = \(\frac{\sqrt{2}}{4}\)MN.ME + \(\frac{\sqrt{2}}{4}\)MP.ME = \(\frac{\sqrt{2}}{4}\).ME.(MN + MP) \(\Leftrightarrow\) MN.MP = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).ME.(MN + MP) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).ME = \(\frac{MN.MP}{MN+MP}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{2}{\sqrt{2}.ME}\) = \(\frac{MN+MP}{MN.MP}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{\sqrt{2}}{ME}\) = \(\frac{1}{MN}+\frac{1}{MP}\) (đpcm)

Vậy ta đã chứng minh được câu hỏi trên.