4. Cho hai đường tròn (O) và (O') có cùng bán kính. Gọi A, B là giao điểm của hai đường tròn. Qua A...
Câu hỏi:
4. Cho hai đường tròn (O) và (O') có cùng bán kính. Gọi A, B là giao điểm của hai đường tròn. Qua A kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại D và cắt đường tròn (O') tại E. Gọi I là giao điểm của AB và OO'.
a, Chứng minh rằng I là trung điểm của AB.
b, Chứng minh tứ giác OAO'B là hình thoi.
c, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và O' trên DE. Chứng minh rằng tam giác HIK cân tại I.
d, Chứng minh rằng HI = $\frac{BD}{2}$
e, Chứng minh rằng tam giác BDE cân tại B.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Ánh
Để giải bài toán trên, ta sẽ thực hiện các bước sau:a) Chứng minh rằng I là trung điểm của AB:- Ta có: O'A = OA (bán kính đường tròn (O'))- OA = OB (bán kính đường tròn (O))- Vậy, OO' là trung trực của AB- Do đó, I là trung điểm của ABb) Chứng minh tứ giác OAO'B là hình thoi:- Xét tam giác OAO': OA = O'A (vì (O) và (O') có cùng bán kính)- Vậy tam giác OAO' cân tại A- Mà AI vuông góc với OO' (vì OO' là trung trực của AB)- Do đó, AI là đường trung trực ứng với cạnh OO'- Tứ giác OAO'B có hai đường chéo AB và OO' vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường- Vậy, tứ giác OAO'B là hình thoic) Chứng minh tam giác HIK cân tại I:- OH vuông góc DE- O'K vuông góc DE, O'K // OH- Vậy tứ giác O'KHO là hình thang- Kẻ IM vuông góc với DE (M thuộc DE)- IM // OH // O'K- IM là đường trung bình của hình thang O'KHO- Vậy, M là trung điểm của HK- Ta có tam giác IMH và tam giác IMK cùng đồng cân- Vậy, IH = IK- Nên tam giác HIK cân tại Id) Chứng minh HI = BD/2:- OH vuông góc DE- H là trung điểm của AD- Do đó, HI là đường trung bình của tam giác ADB- Vậy, HI = BD/2e) Chứng minh tam giác BDE cân tại B:- O'K vuông góc DE- O'K vuông góc AE- K là trung điểm của AE- I là trung điểm của AB- Vậy, IK là đường trung bình của tam giác ABE- Vậy, IK = BE/2- Ta có IH = IK- Nên BD/2 = BE/2 => BD = BE- Vậy, tam giác BDE cân tại BVậy là đã chứng minh xong các phần của bài toán.
Câu hỏi liên quan:
- 1.Ở hình 7.5, các điểm L, Q, N và P đều là các tiếp điểm của đường tròn (C) và (D). Biết rằng...
- 2. Phần lớn các đĩa nhạc CD hiện nay đều có ba đường tròn đồng tâm. Đường tròn thứ nhất là lỗ hổng...
- 3. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC với điểm...
- 5. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD với A, C...
{ "content1": "a, Ta có AB song song với OO' do cùng vuông góc với tia kết nối hai tâm của hai đường tròn. Do đó, I là trung điểm của AB.", "content2": "b, Ta có OA=AO'=OB=BO' do hai đường tròn có cùng bán kính. Kết hợp với a, ta có OABO' là hình thoi.", "content3": "c, Ta có các góc HIO và KIO' bằng nhau (cùng bằng nửa góc DO'A và EO'A tương ứng) nên tam giác HIK cân tại I.", "content4": "d, Ta có HI song song với BD (do cùng vuông góc với DE) và cùng độ dài với $\frac{BD}{2}$ (do I là trung điểm của AB), nên HI=$\frac{BD}{2}$.", "content5": "e, Ta có $\angle$BDE=$\angle$BAE,$\angle$BED=$\angle$BEA (cùng nội tiếp trong hình thoi OABO'). Kết hợp với OB=OE, ta có tam giác BDE cân tại B."}