Khám phá 6 trang 78 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 8 tập 1 CTST:Cho ABCD là một hình bình...

Để giải câu hỏi trên, ta có thể chứng minh từng trường hợp một như sau:

Trường hợp 1: AB = AD
Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AB = CD.
Lại có AB = AD (giả thiết)
Do đó ta có: AB = AD = BC = CD.

Trường hợp 2: AC vuông góc với BD
Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC, AB = CD và hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Xét tam giác DOAB và DOCB, ta có:
∠AOB = ∠COB = 90°; OB là cạnh chung; OA = OC
Do đó tam giác DOAB = tam giác DOCB (hai cạnh góc vuông)
Suy ra: AB = CB (hai cạnh tương ứng).
Mà AD = BC, AB = CD nên AB = CD = CB = DA.

Trường hợp 3: AC là đường phân giác góc BAD
Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD
Ta có ∠BAC = ∠CDA (so le trong).
Mà ∠BAC = ∠CAD (do AC là tia phân giác của góc BAD)
Suy ra ∠CAD = ∠CDA
Tam giác ACD có ∠CAD = ∠CDA nên là tam giác cân tại D
Suy ra AD = DC
Lại có AB = CD và AD = BC (chứng minh trên)
Do đó AB = BC = CD = DA.

Trường hợp 4: BD là đường phân giác góc ABC
Chứng minh tương tự như trường hợp 3, từ đó ta cũng có AB = BC = CD = DA.

Do đó, trong mọi trường hợp, tứ giác ABCD đều có bốn cạnh bằng nhau.