Bài tập 8 trang 81 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 8 tập 1 CTST:Cho tam giác ABC cân tại A, gọi...

a) Phương pháp giải:
- Chứng minh tứ giác ABDC là hình thoi: Ta có M là trung điểm của BC và AD, do đó AB || DC và AD || BC, từ đó ta có tứ giác ABDC là hình bình hành. Vì AD vuông góc BC (do D đối xứng với A qua BC), nên tứ giác ABDC là hình thoi.

b) Phương pháp giải:
- Chứng minh hai tam giác AOB và MBO vuông và bằng nhau: Ta có E là trung điểm của AB và O là trung điểm của EM (do E là trung điểm của OM). Khi đó, ta có O là trung điểm của AM. Từ đây, ta dễ dàng chứng minh được tam giác AOB và MBO là hai tam giác vuông.

c) Phương pháp giải:
- Chứng minh tứ giác AEMF là hình thoi: Ta có ME = EA và MF = AF từ tính chất của đường trung tuyến và đối xứng qua trung điểm của một đoạn thẳng. Vì AB = AC (do tam giác ABC cân tại A), ta suy ra EM = EA = MF = AF, từ đó tứ giác AEMF là hình thoi.

Dưới đây là câu trả lời đầy đủ và chi tiết hơn:
a) Tứ giác ABCD có: AD và BC cắt nhau tại M (do đề cho), M là trung điểm của BC và AD (do D đối xứng với A qua BC). Do đó tứ giác ABDC là hình bình hành. Vì AD vuông góc BC (do D đối xứng với A qua BC), nên tứ giác ABDC là hình thoi.

b) Tứ giác OAMB có: OM và AB cắt nhau tại E (do đề cho), E là trung điểm của OM, E là trung điểm của AB (do E là trung điểm của OM). Do đó tứ giác OAMB là hình bình hành. Suy ra ∠AOB = ∠AMB = 90°, ∠OBM = ∠OAM = 90°. Vì OB chung, nên tam giác AOB và MBO là tam giác vuông cân. Từ công thức tính diện tích tam giác vuông, ta có AO = MB (do OAMB là hình bình hành), nên tam giác AOB và MBO bằng nhau.

c) Ta có ME = 1/2 AB (đường trung tuyến của tam giác ABC), AE = 1/2 AB (E là trung điểm của AB). Tương tự, ta có MF = 1/2 AC, AF = 1/2 AC (F là trung điểm của AC). Vì AB = AC (do tam giác ABC cân tại A), nên EM = EA = MF = AF. Do đó tứ giác AEMF là hình thoi.