Bài tập 9. Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip...

Để tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip, ta thực hiện các bước sau:

1. Đối với mỗi phương trình elip cho trước, ta đặt phương trình elip về dạng chuẩn $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ để xác định giá trị a và b.

2. Từ đó, tính giá trị c (khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm) bằng công thức $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$.

3. Tìm tọa độ của tiêu điểm (c, 0) và (-c, 0); tọa độ các đỉnh (a, 0), (-a, 0), (0, b), (0, -b).

4. Độ dài trục lớn bằng 2a và độ dài trục nhỏ bằng 2b.

Với ví dụ cụ thể:
a. Phương trình elip là $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$
- Dạng chuẩn: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$, ta có a = 10, b = 6.
- Khoảng cách từ tâm tới tiêu điểm: $c = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8$
- Tọa độ tiêu điểm là (-8, 0) và (8, 0); tọa độ các đỉnh là (-10, 0), (10, 0), (0, -6), (0, 6).
- Độ dài trục lớn là 2a = 20, trục nhỏ là 2b = 12.

b. Phương trình elip là $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$
- Dạng chuẩn: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$, ta có a = 5, b = 4.
- Khoảng cách từ tâm tới tiêu điểm: $c = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$
- Tọa độ tiêu điểm là (-3, 0) và (3, 0); tọa độ các đỉnh là (-5, 0), (5, 0), (0, -4), (0, 4).
- Độ dài trục lớn là 2a = 10, trục nhỏ là 2b = 8.

c. Phương trình elip là $x^{2} + 16y^{2} = 16$
- Dạng chuẩn: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$, ta có a = 4, b = 1.
- Khoảng cách từ tâm tới tiêu điểm: $c = \sqrt{4^{2} - 1^{2}} = \sqrt{15}$
- Tọa độ tiêu điểm là ($\sqrt{15}$, 0) và (-$\sqrt{15}$, 0); tọa độ các đỉnh là (-4, 0), (4, 0), (0, -1), (0, 1).
- Độ dài trục lớn là 2a = 8, trục nhỏ là 2b = 2.

Do đó, câu trả lời cho câu hỏi trên là:
a. Tọa độ các tiêu điểm là (-8, 0) và (8, 0); tọa độ các đỉnh là (-10, 0), (10, 0), (0, -6), (0, 6); độ dài trục lớn là 20, trục nhỏ là 12.
b. Tọa độ các tiêu điểm là (-3, 0) và (3, 0); tọa độ các đỉnh là (-5, 0), (5, 0), (0, -4), (0, 4); độ dài trục lớn là 10, trục nhỏ là 8.
c. Tọa độ các tiêu điểm là ($\sqrt{15}$, 0) và (-$\sqrt{15}$, 0); tọa độ các đỉnh là (-4, 0), (4, 0), (0, -1), (0, 1); độ dài trục lớn là 8, trục nhỏ là 2.