Bài tập 8 trang 51 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 8 tập 2 CTST:Cho hình thang ABCD (AB // CD)....

Kẻ đường thẳng PR // AC và T là giao điểm của AQ và PR. Ta có PQ // AC nên theo nguyên lý chia tỉ lệ của đường thẳng song song, ta có PT/TR = AQ/QC. Tương tự, ta có PT/TR = AR/RC. Từ hai phương trình trên, ta suy ra AQ/QC = AR/RC, tức là AQ/AR = QC/RC. Do đó, tam giác AQC và tam giác ARC đồng dạng, từ đó suy ra MN = PQ.

Gọi E là giao điểm của MP và NQ. Ta có MP // CD nên theo nguyên lý cắt nhau của đường thẳng song song, ta có EM/MD = PN/ND. Tương tự, ta có EN/ND = QM/MD. Từ hai phương trình trên, ta suy ra EM/MD = EN/ND, tức là EM = EN. Do đó, MN = EM + EN = 2EM = 2EN = PQ.

Kẻ AH // BC (H là giao điểm của AD và BC). Ta có MH // AB nên theo nguyên lý cắt nhau của đường thẳng song song, ta có MH = NA. Tương tự, ta có NH = AK. Do đó, MN = MH + NH = NA + AK = PQ.

Gọi I là giao điểm của MN và CD. Ta có AB // CD nên theo nguyên lý chia tỉ lệ của đường thẳng song song, ta có MI/ID = AM/AD. Tương tự, ta có NI/ID = BN/BD. Từ hai phương trình trên, ta suy ra MI/ID = NI/ID, tức là MI = NI. Do đó, MN = MI + NI = 2MI = 2NI.

Ta có AB // CD và MN // AB (do MN song song với AB). Do đó, ta có MN // CD và NP // CD (do NP song song với CD). Từ đó, ta suy ra MN = NP.