a) Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgaritHoạt động 9 trang 93 sách giáo khoa (SGK) toán...

a) Để tính đạo hàm của hàm số $y=x^e$ tại x, ta sử dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ $e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}$.
Ta có:
$y'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^e-x^e}{h}$
$=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln(x+h)}-e^{e\ln x}}{h}$
$=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln x}e^{e\ln(1+\frac{h}{x})}-e^{e\ln x}}{h}$
$=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln x}\left(e^{e\ln(1+\frac{h}{x})}-1\right)}{h}$
$=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln x}\left(e^{e\left(\frac{h}{x}+\mathcal{O}(h^2)\right)}-1\right)}{h}$
$=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln x}\left(e^{e\frac{h}{x}}-1\right)}{h}$
$=e^{e\ln x}\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\frac{h}{x}}-1}{\frac{h}{x}}\cdot\frac{1}{x}$
$=x^e\lim_{h\to 0} \frac{e^{h/x}-1}{h/x}\cdot\frac{1}{x}$
Đặt $u=h/x$, ta có $h=ux$, khi $h$ tiến tới 0, $u$ cũng tiến tới 0.
Nên biểu thức trên trở thành:
$=x^e\lim_{u\to 0} \frac{e^u-1}{u}\cdot\frac{1}{x}$
$=x^e\cdot\frac{1}{x}$
$=x^{e-1}$

b) Để tính đạo hàm của hàm số $y=a^{x}$, ta cũng sử dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ $e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}$.
Ta có:
$y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}$
$=\lim_{h\to 0}\frac{e^{(x+h)\ln a}-e^{x\ln a}}{h}$
$=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x\ln a}\left(e^{h\ln a}-1\right)}{h}$
$=a^x\lim_{h\to 0}\frac{e^{h\ln a}-1}{h}$
$=a^x\lim_{h\to 0}\frac{e^{h\ln a}-1}{h\ln a}\cdot\ln a$
$=a^x\cdot\ln a$

Vậy câu trả lời cho câu hỏi là:
a) Đạo hàm của hàm số $y=x^e$ là $y'(x)=x^{e-1}$.
b) Đạo hàm của hàm số $y=a^{x}$ là $y'(x)=a^x\cdot\ln a$.