1. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶPa, Đạo hàm của hàm số $y=n^{n}(n\in N^{*})$Hoạt động 1...

Để tính đạo hàm của hàm số $y = x^3$ ta sử dụng định nghĩa của đạo hàm:

$y' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Thay $f(x) = x^3$ vào công thức trên, ta có:

$y' = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h}$

$y' = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}{h}$

$y' = \lim_{h \to 0} 3x^2 + 3xh + h^2$

$y' = 3x^2$

Vậy đạo hàm của hàm số $y = x^3$ là $y' = 3x^2$.

Để dự đoán công thức đạo hàm của hàm số $y = x^n$, ta cũng áp dụng định nghĩa của đạo hàm:

$y' = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}$

$y' = \lim_{h \to 0} \frac{x^n + nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + ... + h^n - x^n}{h}$

$y' = \lim_{h \to 0} nx^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h + ... + h^{n-1}$

Với $h$ tiến dần về 0, các thành phần thứ tự từ thứ 2 trở đi sẽ biến mất. Ta có:

$y' = nx^{n-1}$

Vậy công thức đạo hàm của hàm số $y = x^n$ là $y' = nx^{n-1}$.