2. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNGHoạt động 3 trang 89 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2...

Phương pháp giải:

a) Để tính đạo hàm của hàm số $y = x^{3} + x^{2}$, ta áp dụng định nghĩa của đạo hàm:
$y' = \lim_ {h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Thay $f(x) = x^{3} + x^{2}$ vào công thức trên ta được:
$y' = \lim_ {h \to 0} \frac{(x+h)^{3} + (x+h)^{2} - x^{3} - x^{2}}{h}$

Mở rộng và rút gọn ta được:
$y' = \lim_ {h \to 0} \frac{x^{3} + 3x^{2}h + 3xh^{2} + h^{3} + x^{2} + 2xh + h^{2} - x^{3} - x^{2}}{h}$
$y' = \lim_ {h \to 0} \frac{3x^{2}h + 3xh^{2} + h^{3} + 2xh + h^{2}}{h}$
$y' = \lim_ {h \to 0} 3x^{2} + 3xh + h^{2} + 2x + h$
$y' = 3x^{2} + 2x$

Vậy đạo hàm của hàm số $y = x^{3} + x^{2}$ là $y' = 3x^{2} + 2x$.

b) Để so sánh $(x^{3} + x^{2})'$ và $(x^{3})' + (x^{2})'$, ta chỉ cần tính đạo hàm của từng hàm số rồi so sánh:
$(x^{3} + x^{2})' = 3x^{2} + 2x$ (đã tính ở câu a)
$(x^{3})' = 3x^{2}$
$(x^{2})' = 2x$

Vậy, ta có $(x^{3} + x^{2})' = (x^{3})' + (x^{2})'$, do đó $(x^{3} + x^{2})'$ = $(x^{3})' + (x^{2})'$.