5. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARITa) Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgaritHoạt...

Phương pháp giải:

a) Ta có $y=(1+x)^{\frac{1}{x}}$, đặt $t=\frac{1}{x}$, khi đó $x=\frac{1}{t}$ và $1+x=\frac{1+t}{t}$. Khi $x\rightarrow 0$, ta có $t\rightarrow \infty$.
Vậy ta có:
\[
\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{t\rightarrow \infty}\left(\frac{1+t}{t}\right)^t=e
\]

b) Ta đã tính được $ln y =\frac{ln(1+x)}{x}$. Khi đó:
\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{1+x}=1
\]

c) Đặt $t=e^{x}-1$, khi $x\rightarrow 0$, ta có $t\rightarrow 0$. Khi đó:
\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^{ln(1+t)-1}}{ln(1+t)}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{1+t}=0
\]

Vậy câu trả lời cho câu hỏi là:
a) $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$
b) $\lim_{x\rightarrow 0}ln(1+x)^{\frac{1}{x}}=1$
c) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=0$