Câu 3: Trang 28 sách VNEN 9 tập 1Chứng minh rằng giá trị của biểu thức M không phụ thuộc vào a:M...

Để chứng minh rằng giá trị của biểu thức M không phụ thuộc vào a, ta sẽ tiến hành biến đổi biểu thức M như sau:

M = $\left ( \frac{1}{2 + 2\sqrt{a}} + \frac{1}{2 - 2\sqrt{a}} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a^{2}} \right )$$\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )$
= $\left ( \frac{1}{2(1 + \sqrt{a})} + \frac{1}{2(1 - \sqrt{a})} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a^{2}} \right )$$\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )$
= $\left ( \frac{1- \sqrt{a}}{2(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a})} + \frac{1 + \sqrt{a}}{2(1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a^{2}} \right )$$\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )$
= $\left ( \frac{1 - \sqrt{a} + 1 + \sqrt{a}}{2(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a}} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a^{2}} \right )$$\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )$
= $\left (\frac{2}{2(1 - a)} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a)(1 + a)} \right )$$\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )$
= $\left (\frac{1 + a}{(1 - a)(1 + a)} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a)(1 + a)} \right )$$\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )$
= $\frac{1 + a - a^{2} - 1}{(1 - a)(1 + a)}$$\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )$
= $\frac{a(1 - a)}{(1 - a)(1 + a)}$$\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )$
= $\frac{a}{1 + a} \cdot \frac{a + 1}{a} = 1$

Vậy giá trị của M là 1 và không phụ thuộc vào a.