Câu 2: Trang 54 sách toán VNEN lớp 9 tập 2Cho phương trình: $x^2 - (2a - 1)x - 4a - 3 = 0$a) Chứng...

a) Để chứng minh rằng phương trình $x^2 - (2a - 1)x - 4a - 3 = 0$ luôn có nghiệm với mọi giá trị của a, ta tính delta của phương trình. Delta được tính bằng:
$$\Delta = [-(2a- 1)]^2 - 4 \times 1 \times (-4a - 3) = 4a^2 + 12a + 13$$
$$= (2a)^2 + 2 \times 2a \times 3 + 9 + 4 = (2a+3)^2 + 4 \geq 0 \;\forall a$$
Vậy ta kết luận rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a.

b) Gọi $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Theo hệ thức Vi-et ta có:
$$\left\{\begin{matrix}x_1 + x_2 = 2a - 1\\x_1 \times x_2 = -4a - 3\end{matrix}\right.$$
Từ đó, suy ra:
$$2(x_1 + x_2) + x_1 \times x_2 = -5$$

c) Để tìm giá trị nhỏ nhất của $A = x_1^2 + x_2^2$, ta sử dụng công thức bậc hai đơn giản:
$$A = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 \times x_1 \times x_2$$
$$ = (2a - 1)^2 - 2 \times (-4a - 3) = 4a^2 + 4a + 7 = (2a + 1)^2 + 6$$
Ta có $(2a + 1)^2 \geq 0 \;\forall a$, suy ra $(2a + 1)^2 + 6 \geq 6 \;\forall a$. Dấu '=' xảy ra khi $(2a + 1)^2 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{-1}{2}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 6 khi $a = \frac{-1}{2}$.