2.12. Biết hệ số của x^2 trong khai triển của (1-3x)^n là 90. Tìm n

Để tìm hệ số của \(x^2\) trong khai triển có dạng \((1-3x)^n\), ta áp dụng công thức khai triển Newton (hay công thức nhị thức):

\((a + b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + ... + C_n^n a^0 b^n\)

Trong trường hợp này, \(a = -3x\) và \(b = 1\):

\((1 - 3x)^n = C_n^0 1^n (-3x)^0 + C_n^1 1^{n-1} (-3x)^1 + C_n^2 1^{n-2} (-3x)^2 + ...\)

Số hạng chứa \(x^2\) sẽ là \(C_n^2 1^{n-2} (-3x)^2 = C_n^2 (-3)^2 x^2\)

Ta biết hệ số của \(x^2\) là 90, nên ta có phương trình:

\(C_n^2 (-3)^2 = 90\)

\(\Rightarrow 9C_n^2 = 90\)

\(\Rightarrow C_n^2 = 10\)

Vậy ta có: \(\frac{n!}{(n-2)!2!} = 10\)

\(\Rightarrow \frac{n(n-1)}{2} = 10\)

\(\Rightarrow n(n-1) = 20\)

Để tìm n, ta chỉ cần thử các giá trị cho n, ta có n = 5 là nghiệm.

Vậy n = 5 là câu trả lời cho câu hỏi trên.