Thực hành 5: Chứng minh với mọin∈N∗, ta có

Để chứng minh với mọi n ∈ N*, ta có thể giải bằng cách sử dụng quy nạp hoặc sử dụng phương pháp toán học cụ thể.

Phương pháp 1: Sử dụng quy nạp
- Bước 1: Kiểm tra đẳng thức đúng với n = 1:
Ta có (1 + x)^1 = 1 + 1*x = 1 + x, với x thuộc R là số thực bất kỳ. Vậy đẳng thức đã được chứng minh đúng với n = 1.
- Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là (1 + x)^k = sigma(kCj * x^j, j=0 to k) với j là số nguyên không âm. Thực hiện bước chứng minh đẳng thức đúng với n = k+1:
(1 + x)^(k+1) = (1 + x)*(1 + x)^k = (1 + x)*sigma(kCj * x^j, j=0 to k) = sigma(kCj * x^j, j=0 to k) + x*sigma(kCj * x^j, j=0 to k) = sigma(k+1Cj * x^j, j=0 to k+1), với j là số nguyên không âm. Vậy đẳng thức đã được chứng minh đúng với n = k+1.
Ta kết luận theo nguyên lý quy nạp, đẳng thức đã được chứng minh đúng với mọi số nguyên dương n.

Phương pháp 2: Sử dụng công thức Newton:
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
(1 + x)^n = sigma(nCj * x^j, j=0 to n), với j là số nguyên không âm.

Ví dụ: Thay x = -1, ta được:
(1 - 1)^n = 0^n = 0 = sigma(nCj * (-1)^j, j=0 to n)

Vậy chứng minh với mọi n ∈ N*, ta có:
(1 - 1)^n = sigma(nCj * (-1)^j, j=0 to n) = 0.