4. Biết rằng hệ số của $x^2$ trong khai triển của $(1+3x)^n$ là 90. Tìm giá trị của n

Để giải bài toán trên, chúng ta cần tìm số hạng chứa $x^2$ trong khai triển của $(1+3x)^n$. Số hạng chứa $x^2$ ứng với k = 2, thực hiện theo công thức tổng quát của khai triển nhị thức:

$(1+3x)^n = C_0{_{n}^{}} + C_1{_{n}^{}}(3x) + C_2{_{n}^{}}(3x)^2 + ... + C_n{_{n}^{}}(3x)^n$

Trong đó, $C_k{_{n}^{}} = {n \choose k}$ là hệ số tổ hợp.

Để tìm hệ số $x^2$ trong khai triển trên, ta có:

- Với $k = 2$: $C_2{_{n}^{}}(3x)^2$, hệ số của $x^2$ là $C_2{_{n}^{}}*3^2$.

- Đề bài cho biết rằng hệ số của $x^2$ là 90, suy ra $C_2{_{n}^{}}*3^2 = 90$.

Suy ra, $C_2{_{n}^{}} = \frac{90}{9} = 10$.

Tiếp theo, ta dùng công thức tổ hợp để tính $C_2{_{n}^{}} = {n \choose 2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2} = 10$.

Suy ra, $n(n-1) = 20$.

Giải phương trình ta được $n = 5$.

Vậy giá trị của n là 5.