5. Chứng minh công thức nhị thức Newton ( công thức(1) trang 35) bằng phương pháp quy nạp toán học

Phương pháp giải:

Ta chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp toán học như sau:

- Bước 1: Chứng minh công thức đúng với n = 1:
$(a + b)^1 = a + b$

Công thức trên đúng cho n = 1.

- Bước 2: Giả sử công thức đúng với n = k:
$(a + b)^k = \sum_{i=0}^{k} C_{k}^{i}a^{i}b^{k-i}$

- Bước 3: Chứng minh công thức đúng với n = k + 1:
$(a + b)^{k+1} = (a+b)(a + b)^k$

$ = (a+b) \left( \sum_{i=0}^{k} C_{k}^{i}a^{i}b^{k-i} \right)$

$ = a(a^k) + ab(a^{k-1}) + ba(b^{k-1}) + b(b^k)$

$ = a^{k+1} + \sum_{i=1}^{k} C_{k}^{i}a^{i}b^{k+1-i} + b^{k+1}$

$ = \sum_{i=0}^{k+1} C_{k+1}^{i}a^{i}b^{k+1-i}$

Vậy ta đã chứng minh được công thức đúng với n = k + 1.

Do đó, theo nguyên lý quy nạp toán học, công thức nhị thức Newton là đúng với mọi số nguyên dương n.