Bài tập 4.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol $(H): \frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1$....

Để giải bài toán này, chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định định dạng chính tắc của phương trình của hình ellipse (E), tức là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$, với a > b > 0.

Bước 2: Gọi một tiêu điểm của ellipse (E) là F(a, 0) và tiêu điểm kia là F'( -a, 0).

Bước 3: Do ellipse (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của hyperbola (H), ta có $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=10$.

Bước 4: Gọi M(8, 6) là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của hyperbola (H). Ta có $\frac{8^{2}}{a^{2}} + \frac{6^{2}}{b^{2}} = 1$.

Bước 5: Thay c vào phương trình của ellipse (E), ta có $a^{2} - b^{2} = c^{2} = 100$.

Bước 6: Giải hệ phương trình tìm ra a và b, sau đó suy ra phương trình chính tắc của ellipse cần tìm.

Vậy câu trả lời cho bài toán là phương trình chính tắc của ellipse cần tìm là $\frac{x^{2}}{160} + \frac{y^{2}}{60} = 1$.