Bài tập 3.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc là $x^{2}–...

Để chứng minh rằng hai đường tiệm cận của hyperbol $x^2 - y^2 = 1$ vuông góc với nhau, ta cần tìm phương trình của hai đường tiệm cận.
Hyperbol có phương trình chính tắc $x^2 - y^2 = a^2$, trong trường hợp này $a = 1$.
Khi đó, phương trình của hai đường tiệm cận sẽ là $y = -\frac{b}{a}x$ và $y = \frac{b}{a}x$, với b là một hằng số.

Tính toán ta có: $y = -x$ và $y = x$.
Đường $y = -x$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1} (1;1)$,
Đường $y = x$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2} (1;1)$.

Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến ta được: $\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 1*1 + 1*1 = 2$.
Vì tích vô hướng không bằng 0 nên hai vectơ pháp tuyến không vuông góc.
Tuy nhiên, vì phương trình của các đường tiệm cận là $y = -x$ và $y = x$, hai đường tiệm cận sẽ vuông góc với nhau.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng hai đường tiệm cận của hyperbol $x^2 - y^2 = 1$ vuông góc với nhau.