Bài tập 13. Từ các công thức tính diện tích tam giác đã được học, hãy chứng minh rằng, trong tam...

Để chứng minh công thức $r=\frac{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2\sqrt{a+b+c}}$, ta sẽ sử dụng các công thức về diện tích tam giác và công thức Heron.

Đầu tiên, gọi $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi của tam giác ABC. Theo công thức diện tích tam giác, ta có $S_{ABC}=p.r$, với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Tiếp theo, sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác ABC: $S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Từ đây, ta có:
$p - a = \frac{a+b+c}{2} - a = \frac{b+c-a}{2}$,
$p - b = \frac{a+b+c}{2} - b = \frac{a+c-b}{2}$,
$p - c = \frac{a+b+c}{2} - c = \frac{a+b-c}{2}$.

Kết hợp hai công thức trên, ta được:
$r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p} = \frac{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2\sqrt{a+b+c}}$.

Vậy, ta đã chứng minh được công thức $r=\frac{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2\sqrt{a+b+c}}$.

Vậy, câu trả lời cho câu hỏi là:
$r=\frac{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2\sqrt{a+b+c}}$.