BÀI TẬP2.1.Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự...

a) Để chứng minh đẳng thức 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1) được đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta sử dụng phương pháp quy nạp như sau:
Bước 1: Với n = 1, ta có 2.1 = 1(1 + 1). Điều này chứng minh đẳng thức đúng cho trường hợp n = 1.
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là 2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1).
Bước 3: Ta cần chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1.
Dễ dàng chứng minh được rằng 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k+1) = (k + 1)[(k + 1) + 1].
Vậy đẳng thức được chứng minh đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Để chứng minh đẳng thức 12 + 22 + 32 + ... + n2 = được đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta cũng sử dụng phương pháp quy nạp.
Bước 1: Với n = 1, ta có 12 = 1. Điều này chứng minh đẳng thức đúng cho trường hợp n = 1.
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là 12 + 22 + 32 + ... + k2 = k(k + 1)(2k + 1)/6.
Bước 3: Ta cần chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1.
Dễ dàng chứng minh được rằng 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1)2 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3)/6.
Vậy đẳng thức được chứng minh đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.