2.7.Sừ dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (n ≥...

Để chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (n ≥ 4) là n(n-3)/2 bằng phương pháp quy nạp, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chứng minh cho trường hợp cơ bản n = 4:
Với đa giác 4 cạnh (tứ giác), số đường chéo là 2 = 4(4-3)/2. Vậy khẳng định đúng cho trường hợp cơ bản n = 4.

Bước 2: Giả sử khẳng định đúng với n = k (k ≥ 4), tức là số đường chéo của đa giác k cạnh là k(k-3)/2.

Bước 3: Chứng minh khẳng định cũng đúng với n = k + 1.
Xét đa giác k + 1 cạnh A1A2...AkAk + 1, nối hai đỉnh A1 và Ak ta được đa giác k cạnh A1A2...Ak. Theo giả thiết quy nạp, số đường chéo của đa giác k cạnh này là k(k-3)/2.
Các đường chéo còn lại của đa giác k + 1 cạnh ngoài k(k-3)/2 đường chéo đã có là các đoạn nối Ak + 1 với các đỉnh từ A2 đến Ak - 1 và đoạn A1Ak (màu đỏ). Tổng cộng có (k - 1) đường.
Vậy tổng số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là:
(k(k-3)/2) + (k-1) = (k^2 - 3k + 2)/2 + k - 1 = (k^2 - 3k + 2 + 2k - 2)/2 = (k^2 - k)/2 = (k + 1)(k - 3)/2
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (n ≥ 4) là n(n-3)/2 bằng phương pháp quy nạp.