2.4.Chứng minh rằng$n^{2}$– n + 41 là số lẻ với mọi số nguyên dương n.

Để chứng minh rằng $n^{2} – n + 41$ là số lẻ với mọi số nguyên dương n, ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như sau:

- Ta thấy rằng với n = 1, ta có $1^{2} - 1 + 41 = 41$, là số lẻ. Vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

- Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là $k^{2}- k + 41$ là số lẻ.

- Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là $(k+1)^{2} – (k + 1) + 41$ là số lẻ.

Từ giả thiết quy nạp, ta có: $(k+1)^{2} – (k + 1) + 41= (k^{2} + 2k + 1) – (k + 1) + 41= k^{2} + k + 41 = (k^{2} – k + 41) + 2k$

Vì $k^{2} – k + 41$ là số lẻ và 2k là số chẵn, vậy $(k^{2} – k + 41) + 2k$ là số lẻ.

Do đó, ta có thể kết luận rằng $(k+1)^{2} – (k + 1) + 41$ là số lẻ.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.