2.3.Chứng minh rằng$n^{3}$– n + 3 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Phương pháp giải:

Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là $k^{3}$– k + 3 chia hết cho 3.

Chứng minh khẳng định cũng đúng với n = k + 1:

$(k+1)^{3}$ – (k + 1) + 3 = $k^{3}$ + 3$k^{2}$ + 3k + 1 – k – 1 + 3 = $k^{3}$ + 3$k^{2}$ + 2k + 3

Chúng ta cần chứng minh rằng $k^{3}$ + 3$k^{2}$ + 2k chia hết cho 3.

Nhận xét: $k^{3}$ – k chia hết cho 3 (theo giả thiết) và 3$k^{2}$ cũng chia hết cho 3.

Vậy $k^{3}$ + 3$k^{2}$ + 2k = ($k^{3}$ – k) + 3$k^{2}$ + 3k chia hết cho 3.

Vì vậy, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Câu trả lời cho câu hỏi là: "Đúng, với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có $n^{3}$ – n + 3 chia hết cho 3."