Câu 2: Trang 111 sách VNEN 9 tập 1Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia...
Câu hỏi:
Câu 2: Trang 111 sách VNEN 9 tập 1
Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB). Lấy M trên nửa đường tròn (M $\neq $ A, M $\neq $ B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh:
a) Tam giác COD vuông tại O.
b) CD = AC + BD.
c) AC.BD = $R^{2}$.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Đức
a) Ta có $\widehat{ACO} = \widehat{MCO}$ và $\widehat{BDO} = \widehat{MDO}$ do tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau. Suy ra $\widehat{MCO} + \widehat{MDO} = \widehat{ACO} + \widehat{BDO} = 90^\circ$, tức là tam giác COD vuông tại O.b) Ta có CA = CM và DM = DB do tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau. Suy ra CD = CM + DM = CA + DB.c) Vì MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M, nên OM vuông góc với CD. Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông COD, ta có $OM^2 = MC \cdot MD$. Do đó $R^2 = AC \cdot BD$. Vậy ta đã chứng minh được a), b) và c).
Câu hỏi liên quan:
- C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬPCâu 1: Trang 111 sách VNEN 9 tập 1Từ một điểm A cố định nằm bên ngoài đường...
- Câu 3: Trang 111 sách VNEN 9 tập 1Cho hình 110, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I).Chứng...
- D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNGCâu 1: Trang 111 sách VNEN 9 tập 1Có thể em chưa...
- Câu 2: Trang 112 sách VNEN 9 tập 1a) Cho tam giác ABC, K là giao điểm của các đường phân giác của...
- Câu 3: Trang 112 sách VNEN 9 tập 1Cho đường tròn (O; 3) và điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho Om =...
Từ đồng dạng của các tam giác trên, ta suy ra AC.BD = CA.MD = OA.OM = R^2 vì OA = OB = R do đường tròn có bán kính R.
Ta có tam giác OEA và tam giác CMA đồng dạng (EO // AC và OA // CM). Tương tự, tam giác OEB và tam giác DMB đồng dạng (EO // BD và OB // DM).
Do đó, ta có CD = AE = AC + DE = AC + BD. Vậy CD = AC + BD.
Vì tứ giác ACDE là hình chữ nhật nên ta có AC = DE và CD = AE. Mà DE = BD vì tam giác BDE cân tại B nên DE = BD.
Gọi E là trung điểm của AB, ta có EM song song với CD do cùng vuông góc với AB. Khi đó, ta có tứ giác ACDE là hình chữ nhật.