Bài tập 3.22. Cho góc $\alpha$ thoả mãn sin$\alpha$ + cos$\alpha$ = $\sqrt{2}$. Giá trị của...

Để giải bài toán này, ta có thể áp dụng các công thức cơ bản về sin, cos, tan, cot. Đầu tiên, ta có phương trình sin$\alpha$ + cos$\alpha$ = $\sqrt{2}$. Ta sẽ chuyển sang dạng bình phương, ta được:
(sin$\alpha$ + cos$\alpha$)$^2$ = $\sqrt{2}$$^2$
sin$\alpha$ + 2sin$\alpha$cos$\alpha$ + cos$\alpha$ = 2
sin$\alpha$cos$\alpha$ = 1 - $\frac{cos\alpha}{sin\alpha}$
sin$\alpha$cos$\alpha$ = 1 - cot$\alpha$
Tiếp theo, ta cần tìm giá trị của tan$\alpha$ + cot$\alpha$. Ta có:
tan$\alpha$ + cot$\alpha$ = $\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$ + $\frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{sin\alpha cos\alpha} = \frac{1}{sin\alpha cos\alpha} = \frac{1}{1 - cot\alpha}$
Để tìm giá trị của tan$\alpha$ + cot$\alpha$, ta cần tìm giá trị của cot$\alpha$. Ta có:
sin$\alpha$ + cos$\alpha$ = $\sqrt{2}$
sin$\alpha$ = $\sqrt{2}$ - cos$\alpha$
sin$^2\alpha$ = $2 - 2\sqrt{2}cos\alpha + cos^2\alpha$
sin$^2\alpha$ = $1 - 2\sqrt{2}cos\alpha$
cos\alpha$ = $\frac{1 - sin^2\alpha}{2\sqrt{2}}$
cos\alpha$ = $\frac{1 - (2 - 2\sqrt{2}cos\alpha)}{2\sqrt{2}}$
cos\alpha$ = $\frac{1 - 2 + 2\sqrt{2}cos\alpha}{2\sqrt{2}}$
cos\alpha$ = $\frac{-1 + 2\sqrt{2}cos\alpha}{2\sqrt{2}}$
2\sqrt{2}cos\alpha$ = -1 + $\frac{2\sqrt{2}cos\alpha}{2}$
2\sqrt{2}cos\alpha$ = -1 + $\sqrt{2}cos\alpha$
cos\alpha$ = -1 + $\frac{\sqrt{2}cos\alpha}{2\sqrt{2}}$
cos\alpha$ = -1 + $\frac{cos\alpha}{2}$
2cos\alpha$ = -2 + cos\alpha$
cos\alpha$ = -2
Khi đó, ta có:
cot$\alpha$ = $\frac{cos\alpha}{sin\alpha}$ = $\frac{-2}{\sqrt{2} - cos\alpha}$
cot$\alpha$ = $\frac{-2}{\sqrt{2} + 2}$ = $\frac{-2}{2 + \sqrt{2}}$ = $\frac{-2}{2 + \sqrt{2}}$ $\cdot$ $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ = $\frac{-4 + 2\sqrt{2}}{2}$
Vậy:
tan$\alpha$ + cot$\alpha$ = $\frac{1}{1 - cot\alpha}$ = $\frac{1}{1 - \frac{-4 + 2\sqrt{2}}{2}}$ = $\frac{1}{\frac{6 - 2\sqrt{2}}{2}}$ = $\frac{2}{6 - 2\sqrt{2}}$ = 2
Vậy câu trả lời là D. 2.