Bài 3 : Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn...

a) Ta có:
- Vì AB là đường kính nên góc AMB = góc ANB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), do đó AM ⊥ MB và AN ⊥ NB.
- Đến đây, ta sử dụng tích vô hướng để giải bài toán:
$\overrightarrow{AI} . \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AI} . (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}) = \overrightarrow{AI} . \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AI} . \overrightarrow{BM}$
- Với $\overrightarrow{AI}$ ⊥ $\overrightarrow{BM}$ (do AM ⊥ MB), nên $\overrightarrow{AI} . \overrightarrow{BM} = 0$.
- Từ đó, $\overrightarrow{AI} . \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AI} . \overrightarrow{AB}$.

b) Tiếp tục sử dụng tích vô hướng, ta có:
$\overrightarrow{AI} . \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BI} . \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AI} . \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} . \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AI} . \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} . (-\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AI} . \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BI} . \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} . (\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{BI}) = \overrightarrow{AB} . (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}) = \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB^2} = 4R^2$

Vậy câu trả lời cho câu hỏi là $\overrightarrow{AI} . \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BI} . \overrightarrow{BN} = 4R^2$.