3.11.Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm...

Để chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hyperbol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi, ta có thể làm như sau:

Phương trình hyperbol có dạng:

\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) với a, b > 0

Hai đường tiệm cận của hyperbol là \( y = \pm \frac{b}{a}x \).

Giả sử điểm M(x, y) nằm trên hyperbol, ta có:

\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)

Khoảng cách từ M đến đường tiệm cận \( y = \frac{b}{a}x \) là:

\( d_1 = \frac{|y - \frac{b}{a}x|}{\sqrt{1 + (\frac{b}{a})^2}} \)

Khoảng cách từ M đến đường tiệm cận \( y = -\frac{b}{a}x \) là:

\( d_2 = \frac{|y + \frac{b}{a}x|}{\sqrt{1 + (\frac{b}{a})^2}} \)

Tích \( d_1 \cdot d_2 = \frac{|y - \frac{b}{a}x|}{\sqrt{1 + (\frac{b}{a})^2}} \cdot \frac{|y + \frac{b}{a}x|}{\sqrt{1 + (\frac{b}{a})^2}} = \frac{|x^2 - a^2|}{a^2} \)

Vì \( y^2 = b^2 + \frac{b^2}{a^2}x^2 \) nên \( a^2 \cdot y^2 = a^2b^2 + b^2x^2 \)

Mặt khác, ta có \( a^2 \cdot y^2 = a^2b^2 + b^2x^2 \)

Thay vào tích \( d_1 \cdot d_2 \) ta được:

\( d_1 \cdot d_2 = \frac{|x^2 - a^2|}{a^2} = \frac{a^2b^2 + b^2x^2}{a^2b^2} = \frac{b^2}{a^2} + \frac{x^2}{a^2} = 1 \)

Tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hyperbol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi, bằng 1.