Thực hành 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

Phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss:
1. Đưa hệ phương trình về dạng ma trận tương đương:
$\begin{cases}
x + 2y + z = 1 \\
3x + 6y + 5z = 5
\end{cases}$

Ta có ma trận tương ứng:
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & | & 1 \\
3 & 6 & 5 & | & 5
\end{pmatrix}$

2. Thực hiện biến đổi để ma trận trở thành dạng bậc thang:
$\begin{array}{lcl}
Row_{2} = Row_{2} - 3 \cdot Row_{1} & \Rightarrow & \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & | & 1 \\
0 & 0 & 2 & | & 2
\end{pmatrix}
\end{array}$

3. Giải hệ phương trình sau khi đưa ma trận về dạng bậc thang:
$\begin{cases}
2z = 2 \\
x + 2y + z = 1
\end{cases}$

4. Từ phương trình đầu tiên, suy ra z = 1. Thay vào phương trình thứ hai, ta được x + 2y + 1 = 1 hay x + 2y = 0, tức là x = -2y.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và nghiệm của nó là dạng (-2y + 1; y; 1).