Giải bài tập toán lớp 11 kết nối tri thức bài 7 Cấp số nhân

1. Định nghĩa

Hoạt động 1 trang 52 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết cấp số nhân

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=3\times n^{2}$.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này

b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa $u_{n}$ và $u_{n-1}$

Câu hỏi trang 52 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Dãy số không đổi a, a, a, ... có phải là một cấp số nhân không?

Luyện tập 1 trang 53 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=2\times 5^{n}$. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.

2. Số hạng tổng quát

Hoạt động 2 trang 52 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với số hạng đầu $u_{1}$ và công bội q

a) Tính các số hạng $u_{2},u_{3},u_{4},u_{5}$ theo $u_{1}$ và q

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo $u_{1}$ và q

Luyện tập 2 trang 54 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?

3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân

Hoạt động 3 trang 54 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với số hạng đầu $u_{1}=a$ và công bội $q\neq 1$

Để tính tổng của n số hạng đầu 

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n-1}+u_{n}$

thực hiện lần lượt các yêu cầu sau

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo $u_{1}$ và q để biểu thức tính tổng $S_{n}$ chỉ chứa $u_{1}$ và q

b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích $q\times S_{n}$ chỉ chứa $u_{1}$ và q

c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính $(1-q)S_{n}$ theo $u_{1}$ và q. Từ đó suy ra công thức $S_{n}$

Câu hỏi trang 54 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì tổng n số hạng đầu $S_{n}$ của nó bằng bao nhiêu

Vận dụng trang 54 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:

- Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng.

- Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng tăng thêm 5%

Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người nông dân sẽ lớn hơn?

Bài tập

Bài tập 2.15 trang 55 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:

a) 1, 4, 16, ...;

b) $2, -\frac{1}{2},\frac{1}{8},..$

Bài tập 2.16 trang 55 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Viết năm số hạng đầu của dãy số ($u_{n}$) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số hân, hãy tìm công bội q và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng $u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}$

a) $u_{n}=5n$

b) $u_{n}=5^{n}$

c) $u_{1}=1;u_{n}=nu_{n-1}$

d) $u_{1}=1,u_{n}=5u_{n-1}$

Bài tập 2.17 trang 55 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này

Bài tập 2.18 trang 55 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 5115?

Bài tập 2.19 trang 55 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng

Bài tập 2.20 trang 55 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0.91%. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030

Bài tập 2.21 trang 55 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50 mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp