Giải bài tập toán lớp 11 kết nối tri thức bài 2 Công thức lượng giác

1. Công thức cộng

Hoạt động 1 trang 17 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết công thức cộng

a) Cho $a=\frac{\pi }{4}$ và $b=\frac{\pi }{6}$, hãy chứng tỏ cos(a-b) = cosacosb + sinasinb

b) Bằng cách viết a + b = a - (-b) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính cos(a + b)

c) Bằng cách viết $sin(a-b)=cos[\frac{\pi }{2}-(a-b)]=cos[(\frac{\pi }{2}-a)+b]$ và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính sin(a - b)

Luyện tập 1 trang 18 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Chứng minh rằng:

a) $sinx -cosx=\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi }{4})$

b) $tan(\frac{\pi }{4}-x)=\frac{1-tanx}{1+tanx}(x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi ,x\neq \frac{3\pi }{4}+k\pi ,k\in Z$)

Vận dụng 1 trang 18 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

2. Công thức nhân đôi

Hoạt động 2 trang 18 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Xây dựng công thức nhân đôi

Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: sin2a, cos2a, tan2a

Luyện tập 2 trang 19 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Không dùng máy tính, tính $cos\frac{\pi }{8}$

3.Công thức biến đổi tích thành tổng

Hoạt động 3 trang 19 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Xây dựng công thức biến đổi tích thành tổng

a) Từ các công thức cộng cos(a+b) và cos(a-b), hãy tìm cosacosb; sinasinb

b) Từ các công thức cộng sin(a+b) và sin(a-b), hãy tìm: sinacosb

Luyện tập 3 trang 19 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thúc:

$A=cos75^{\circ}cos15^{\circ}$

$B=sin\frac{5\pi }{12}cos\frac{7\pi }{12}$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

Hoạt động 4 trang 20 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích

Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt u = a-b, v = a+b và viết các công thức nhận được.

Luyện tập 4 trang 20 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức:

$B=cos\frac{\pi }{9}+cos\frac{5\pi }{9}+cos\frac{11\pi }{9}$

Vận dụng 2 trang 20 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp f1 và tần số cao f2 liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm $y = sin(2\pi f_{1}t)+sin(2\pi f_{2}t)$, ở đó t là biến thời gian (tính bằng giây)

a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4

b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số cosin

Bài tập

Bài tập 1.7 trang 21 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Sử dụng $15^{\circ}=45^{\circ}-30^{\circ}$, hãy tính các giá trị lượng giác của góc $15^{\circ}$

Bài tập 1.8 trang 21 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính:

a) $cos(a+\frac{\pi }{6})$, biết $sina=\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\frac{\pi }{2}<a<\pi $

b) $tan(a-\frac{\pi }{4})$, biết $cosa=-\frac{1}{3}$ và $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$

Bài tập 1.9 trang 21 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính sin2a, cos2a, tan2a, biết:

a) $sina=\frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2}<a<\pi $

b) $sina+cosa=\frac{1}{2}$ và $\frac{\pi }{2}<a<\frac{3\pi }{4}$

Bài tập 1.10 trang 21 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=\frac{sin\frac{\pi }{15}cos\frac{\pi }{10}+sin\frac{\pi }{10}cos\frac{\pi }{15}}{cos\frac{2\pi }{15}cos\frac{\pi }{5}-sin\frac{2\pi }{15}sin\frac{\pi }{5}}$

b) $B=sin\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{8}$

Bài tập 1.11 trang 21 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Chứng ming đẳng thức sau:

$sin(a+b)sin(a-b)=sin^{2}a-sin^{2}b=cos^{2}b-cos^{2}a$

Bài tập 1.12 trang 21 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}=75^{\circ};\widehat{C}=45^{\circ}$ và a = BC = 12cm

a) Sử dụng công thức $S=\frac{1}{2}absinC$ và định lí sin, hãy chứng minh diện tích tam giác ABC cho bởi công thức $S=\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}$

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC

Bài tập 1.13 trang 21 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Trong vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức $x(t)=Acos(\omega t+\varphi )$, trog đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A>0) và $\varphi \in [-\pi ;\pi ]$ là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

$x_{1}(t)=2cos(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6})$ (cm)

$x_{2}(t)=2cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3})$ (cm)

Tìm dao động tổng hợp $x(t) = x_{1}(t) + x_{2}(t)$ và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.