Bài 6: Cho$\triangle ABC$ .Chứng minh rằng :a. $\sin \frac{A}{2}.\sin...

Phương pháp giải:
a. Ta có: $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2} \leq \frac{1}{8}$
Tương đương với $8\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2} \leq 1$
Đặt $T = 8\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}$
Ta có: $T = 4\sin \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2} - \cos \frac{A+B}{2})$
$T = 4\sin \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2} - \sin \frac{C}{2})$
Kết hợp với công thức $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ ta được phương trình bậc hai $4\sin^2\frac{C}{2} - 4\cos\frac{A-B}{2}.\sin\frac{C}{2} + T = 0$ (1)
Phương trình (1) có nghiệm khi $\Delta ' \geq 0$, suy ra $T \leq \cos^2\frac{A-B}{2} \leq 1$
Vậy $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2} \leq \frac{1}{8}$

b. Đặt X = $\cos A + \cos B + \cos C$
Ta có: $X = 2\cos \frac{A+B}{2}.\cos \frac{A-B}{2} + 1 - 2\sin^2\frac{C}{2}$
$2\sin^2\frac{C}{2} - 2\cos\frac{A-B}{2}.\sin\frac{C}{2} + X - 1 = 0$ (2)
Phương trình (2) có nghiệm khi $\Delta ' \geq 0$, suy ra $X\leq \frac{3}{2}$
Vậy $\cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}$

c. Đặt V = $\sin^2A + \sin^2B + \sin^2C$
Ta có: $V = \frac{1 - \cos 2A}{2} + \frac{1 - \cos 2B}{2} + 1 - \cos^2C$
$V = 2 - \frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) - \cos^2C$
$V = 2 - \cos(A+B)\cos(A-B) - \cos^2C$
$V = 2 + \cos C \cos(A+B) - \cos^2C$
$\cos^2C - \cos(A-B) \cos C + V - 2 = 0$ (3)
Phương trình (3) có nghiệm khi $\Delta \geq 0$, suy ra $V \leq \frac{9}{4}$
Vậy $\sin^2A + \sin^2B + \sin^2C \leq \frac{9}{4}$

Vậy là các bước giải và câu trả lời cho từng phần của bài toán đã được cung cấp. Bạn có thể viết lại một cách chi tiết hơn và rõ ràng hơn từ các phương pháp giải trên.