Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức : $y=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}$ ....

Để giải bài toán này, ta chia làm 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Giai đoạn của biểu thức khi $x^{2}+x+1 > 0$ $\forall x\in R$

Vì $x^{2}+x+1 > 0$ $\forall x\in R$, ta có:
$y=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}$
$\Leftrightarrow y{x^{2}+x+1}=x^{2}-x+1$
$\Leftrightarrow (y-1)x^{2}+(y+1)x+y-1=0$

Nếu $y = 1$, ta có $x = 0$.
Nếu $y \neq 1$, để phương trình trên có nghiệm, ta cần $\Delta {}' \geq 0$:
$\Delta {}' = (y+1)^2 - 4(y-1) = y^{2}+2y+1-4y+4 = y^{2}-2y+5 \geq 0$
$\Rightarrow y^{2}-2y+5 \geq 0$
$\Rightarrow \frac{1}{3} \leq y \leq 3$

Vậy trong trường hợp này, biểu thức đạt giá trị lớn nhất $3$ và giá trị nhỏ nhất $\frac{1}{3}$.

Trường hợp 2: Khi $x^{2}+x+1 < 0$ tại một số điểm cụ thể trên trục số thực

Ở trường hợp này, ta không thể xác định được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức vì $x^{2}+x+1 < 0$ không xảy ra với mọi $x$.

Vậy kết quả cuối cùng là giá trị lớn nhất của biểu thức là $3$ và giá trị nhỏ nhất là $\frac{1}{3}$.