Bài 5: Cho các số x , y thỏa mãn : $x^{2}+y^{2}+xy=1$Tính giá trị lớn nhất , nhỏ nhất...
Câu hỏi:
Bài 5: Cho các số x , y thỏa mãn : $x^{2}+y^{2}+xy=1$
Tính giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của : $A=2x^{2}-xy+3y^{2}$ .
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Thị Hạnh
Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp đặt t=x/y. Đặt t=x/y, ta có A = 2t^2 - t + 3 / t^2 + t + 1 (1)Để hàm số (1) có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, ta cần tìm điểm cực trị của hàm số này bằng cách tính đạo hàm và giải PT f'(t) = 0.Từ đạo hàm của hàm số A theo t, ta có: A'= (4t - 1)(t^2 + t + 1) - (2t^2 - t + 3)(2t + 1) / (t^2 + t + 1)^2Giải PT A'=0, ta tìm được giá trị của t là t = 1 hoặc t = -1/2Khi đó ta tính được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A khi t=x/y = 1 hoặc t=x/y = -1/2, từ đó suy ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số A là:Max(A) = 11 + sqrt(52) / 3Min(A) = 11 - sqrt(52) / 3Vậy kết quả của bài toán là Max(A) = 11 + sqrt(52) / 3 và Min(A) = 11 - sqrt(52) / 3.
Câu hỏi liên quan:
- Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số sau :a) $y=\frac{6x-1}{x^{2}+8}$ .b)...
- Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức : $y=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}$ ....
- Bài 3: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x^{2}+a}$ .Tìm điều kiện của a để miền giá trị của hàm...
- Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số sau...
- Bài 6: Cho$\triangle ABC$ .Chứng minh rằng :a. $\sin \frac{A}{2}.\sin...
Tùy thuộc vào kiến thức và phương pháp giải toán mà bạn ưa thích, bạn có thể lựa chọn cách giải phù hợp để tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A trong bài toán trên.
Việc chứng minh công thức để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A cũng cũng dựa vào quy tắc cực trị của hàm một biến và đạo hàm cấp 2 để xác định cực trị địa phương của biểu thức đó.
Ta có thể biểu diễn phương trình x^2 + y^2 + xy = 1 dưới dạng hình học để tìm ra hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và nhỏ nhất. Từ đó, ta có thể suy luận được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A.
Một cách khác để giải bài toán này là sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A. Bằng cách này, ta sẽ dễ dàng xác định được điểm cực đại và cực tiểu của biểu thức A.
Ta có thể chia bài toán thành 2 trường hợp: khi x = 0 hoặc y = 0; khi cả x và y đều khác 0. Dựa vào tính chất của phương trình x^2 + y^2 + xy = 1, ta có thể giải quyet bài toán một cách dễ dàng.