Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số sau...

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{3\sqrt{x+3}+4\sqrt{1-x}+1}{4\sqrt{x+3}+3\sqrt{x-1}+1}$, ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện cho biến x là $-3\leq x\leq 1$.
Bước 2: Nhận xét rằng $(\sqrt{x+3})^{2}+(\sqrt{1-x})^{2}=4$.
Bước 3: Đặt $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+3}=2\frac{2t}{1+t^{2}} & \\ \sqrt{1-x}=2\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}& \end{matrix}\right.$ với $0\leq t\leq 1$.
Bước 4: Thực hiện thay thế và đổi biến để đưa hàm số về dạng $y=\frac{-7t^{2}+12t+9}{-5t^{2}+16t+7}$.
Bước 5: Giải phương trình $(5y-7)t^{2} + (12-16y)t + 9-7y = 0$ để tìm các giá trị $t$.
Bước 6: Xét các trường hợp $5y - 7 = 0$ và $5y - 7 \neq 0$ để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $y$.
Bước 7: Kết luận giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $y$ là $y_{\text{max}} = \frac{9}{7}$ và $y_{\text{min}} = \frac{7}{9}$.

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là $\frac{9}{7}$ và giá trị nhỏ nhất là $\frac{7}{9}$.