Bài 5: Cho biểu thức :$A=\frac{mn^{2}+n^{2}.(n^{2}-m)+1}{m^{2}n^{4}+2n^{4}+m^{2}+2}$a) Rút...

Phương pháp giải:
a) Để rút gọn biểu thức A, ta thực hiện các bước biến đổi tích hợp như sau:
$A=\frac{mn^{2}+n^{2}.(n^{2}-m)+1}{m^{2}n^{4}+2n^{4}+m^{2}+2}$
= $\frac{mn^{2}+n^{4}-mn^{2}+1}{m^{2}n^{4}+m^{2}+2n^{4}+2}$
= $\frac{n^{4}+1}{(n^{4}+1)(m^{2}+2)}$
= $\frac{1}{m^{2}+2}$

b) Ta có: $m^{2}\geq 0, \forall m$ => $m^{2}+2 > 0, \forall m$ => $\frac{1}{m^{2}+2} > 0, \forall m$
Vậy $A>0, \forall m$.

c) Để tìm giá trị m để A đạt giá trị lớn nhất, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của mà khi đó A sẽ đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: $m^{2}\geq 0, \forall m$ => $m^{2}+2 \geq 2, \forall m$ => $\frac{1}{m^{2}+2} \leq \frac{1}{2}, \forall m$
Điều này suy ra $A \leq \frac{1}{2}$
Vậy để A đạt giá trị lớn nhất, ta cần $A = \frac{1}{2}$, điều này xảy ra khi $m=0$.

Vậy câu trả lời cho câu hỏi:
a) $A=\frac{1}{m^{2}+2}$.
b) $A>0, \forall m$.
c) $A = \frac{1}{2}$ và $m=0$ để A đạt giá trị lớn nhất.