Giải bài tập toán lớp 11 chân trời sáng tạo bài 4 Hàm số lượng giác và đồ thị

Câu hỏi mở đầu

Mở đầu trang 25 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Vì sao mặt cắt của sóng nước trên mặt hồ được gọi là có dạng hình sin?

1. Hàm số lượng giác

Khám phá 1 trang 25 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho số thực t và M là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo t rad trên đường tròn lượng giác. Sử dụng định nghĩa của các giá trị lượng giác, hãy giải thích vì sao xác định duy nhất:

a) Giá trị sint và cost

b) Giá trị tant (nếu $t \neq \frac{\pi }{2} + k\pi , k\in \mathbb{Z}$ và cott (nếu $t \neq k\pi , k\in \mathbb{Z}$)

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Khám phá 2 trang 26 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xét hai hàm số $y = x^{2}$, $y=2x$ và đồ thị của chúng trong Hình 2. Đối với mỗi trường họp, nêu mối liên hệ của giá trị hàm số tại 1 và -1, 2 và -2. Nhận xét về tính đối xứng của mỗi đồ thị hàm số.

Thực hành 1 trang 27 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Chứng minh rằng hàm số y = sinx và hàm số y = cotx là các hàm số lẻ

Hàm số tuần hoàn

Khám phá 3 trang 27 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Hãy chỉ ra một số thực T sao cho sin(x + T) = sinx với mọi $x\in \mathbb{R}$

Thực hành 2 trang 27 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cosx và hàm số y = cotx

3. Đồ thị của các hàm số lượng giác

Hàm số y = sinx

Khám phá 4 trang 28 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Hàm số y = cosx

Khám phá 5 trang 28 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Thực hành 3 trang 30 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hàm số y = cos x với $x \in \left [ -\frac{\pi }{2};\pi  \right ]$

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Tại các điểm nào thì giá trị hàm số lớn nhất?

c)  Tìm các giá trị của x thuộc $\left [ -\frac{\pi }{4};\frac{5\pi }{4} \right ]$ sao cho $sin(x-\frac{\pi }{4})<0$

Vận dụng 1 trang 30 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Li độ s (cm) của một con lắc đồng hộ theo thời gian t (giây) được cho bởi hàm số $s = 2cos\pi t$. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy xác định ở các thời điểm t nào trong 3 giây đầu thì con lắc có li độ lớn nhất

Hàm số y = tanx

Khám phá 6 trang 30 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Hàm số y = cotx

Khám phá 7 trang 31 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Thực hành 4 trang 33 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hàm số y = cots với x $\epsilon \left ( -\frac{\pi }{2}; 2\pi  \right )$ và $x \in \mathbb{Z}$.

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Có bao nhiêu giá trị x mà tại đó giá trị hàm số đã cho bằng 2?

Vận dụng 2 trang 32 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ phẳng như trong Hình 10. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trục hoành và kinh tuyến $0^{o}$ làm trục tung. Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ $\varphi ^{o} (-90<\varphi <90)$ được cho bởi hàm số $y = 20tan(\frac{\pi }{180}\varphi )$ (cm). Sử dụng đồ thị hàm số tang, hãy cho biết những điểm ở vĩ độ nào nằm cách xích đạo 20cm trên bản đồ.

BÀI TẬP

Bài tập 1 trang 32 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Các hàm số dưới đây có là hàm số chẵn hay hàm số lẻ không?

a) $y = 5sin^{2}\alpha + 1$

b) $y = cosx + sinx$

c) $y = tan2x$

Bài tập 2 trang 32 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y =\frac{1}{cosx}$

b) $y = tan(x+\frac{\pi }{4})$

c) $y = \frac{1}{2-sin^{2}x}$

Bài tập 3 trang 33 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm tập giá trị của hàm số y = 2cos + 1

Bài tập 4 trang 33 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, xác định các giá trị $x\in \left [ -\pi ;\pi  \right ]$ thoả mãn $sinx = \frac{1}{2}$

Bài tập 5 trang 33 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác $\alpha $ = (Ox, OM) theo hàm số $v_{x} = 0,3sin\alpha $ (m/s) (Hình 11).

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $v_{x}$

b) Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết trong vòng quay đầu tiên ($0 \leq \alpha \leq 2\alpha $), góc $\alpha $ ở trong các khoảng nào thì $v_{x}$ tăng.

Bài tập 6 trang 33 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng 3m. Xét gàu G của guồng. Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A (Hình 12)

a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt nước theo góc $\alpha = (OA, OG)$

b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết ở các thời điểm t nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m.

Bài tập 7 trang 33 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong Hình 13, một chiếc máy bay A bay ở độ cao 500m theo một đường thẳng đi ngang qua phía trên trạm quan sát T ở mặt đất. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đất là H, $\alpha $ là góc lượng giác (Tx, TA) ($0<\alpha <\pi $).

a) Biểu diễn toạ độ $x_{H}$ của điểm H trên trục Tx theo $\alpha $

b) Dựa vào đồ thị hàm số côtang, hãy cho biết với $\frac{\pi }{6}<\alpha <\frac{2\pi }{3}$ thì $x_{H}$ nằm trong khoảng nào. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.