Giải bài tập toán lớp 11 chân trời sáng tạo bài 2 Giới hạn của hàm số

Câu hỏi mở đầu

Quan sát hình bên, cho biết hình chữ nhật OHMK thay đổi nhưng điểm M luôn nằm trên đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x^{2}}(x>0)$. Diện tích hình chữ nhật sẽ thay đổi như thế nào khi điểm H tiến gần đến gốc toạ dộ? Khi H tiến xa sang phía bên phải thì sao?

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Khám phá 1 trang 71 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xét hàm số $y = f(x) = \frac{2x^{2}-2}{x-1}$

a) Bảng sau đây cho biết giá trị của hàm số tại một số điểm gần điểm 1

Có nhận xét gì về giá trị của hàm số khi x càng tiến đến gần 1

b) Ở Hình 1, M là điểm trên đồ thị hàm số y = f(x); H và P lần lượt là hình chiếu của M trên trục hoành và trục tung. Khi điểm H thay đổi gần về điểm (1;0) trên trục hoành thì điểm P thay đổi như thế nào?

Thực hành 1 trang 72 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\to3}(2x^{2}-x)$

b) $\lim_{x\to-1}=\frac{x^{2}+2x+1}{x+1}$

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

Khám phá 2 trang 72 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hai hàm số $y = f(x) = 2x$ và $y=g(x)=\frac{x}{x+1}$

a) Giả sử $(x_{n})$ là dãy số bất kì thoả mãn $x_{n}\neq -1 $ với mọi n và $x_{n}\rightarrow 1$ khi $n\rightarrow +\infty $. Tìm giới hạn $lim\left [ f(x_{n})+g(x_{n}) \right ]$

b) Từ đó, tìm giới hạn $\lim_{x\rightarrow 1}\left [ f(x)+g(x) \right ]$, và so sánh với $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)+\lim_{x\rightarrow 1}g(x) $

Thực hành 2 trang 73 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\rightarrow -2}(x^{2}+5x-2)$

b) $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}$

3. Giới hạn một phía

Khám phá 3 trang 73 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Giá cước vận chuyển bưu kiện giữa hai thành phố do một đơn vị cung cấp được cho bởi bảng sau:

Nếu chỉ xét trên khoảng từ 0 đến 5 (tính theo 100 gam) thì hàm số giá cước (tính theo nghìn đồng) xác định như sau:

$f(x)=\left\{\begin{matrix}6; x\in (0;1]\\7; x\in (1;2,5]\\10;  x\in (2,5;5]\end{matrix}\right.$

Đồ thị hàm số như Hình 2

a) Giả sử $(x_{n})$ là dãy số bất kì sao cho $x_{n}\in (1;2,5)$ và $limx_{n}=1$. Tìm $limf(x_{n})$

b) Giả sử $(x'_{n})$ là dãy số bất kì sao cho $x'_{n}\in (0;1)$ và $limx'_{n}=1$. Tìm $limf(x'_{n})$

c) Nhận xét về kết quả ở a) và b)

Thực hành 3 trang 73 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}1-2x; x\leq -1\\x^{2}+2; x>-1\end{matrix}\right.$.

Tìm các giới hạn $\lim_{x\rightarrow -1^{+}}f(x), \lim_{x\rightarrow -1^{-}}f(x)$ và $\lim_{x\rightarrow -1}f(x)$ (nếu có)

4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Khám phá 4 trang 75 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$ có đồ thị như Hình 3.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng lớn (dần tới $+\infty $)?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau: 

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng bé (dần tới $-\infty $)?

Thực hành 4 trang 76 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1-3x^{2}}{x^{2}+2x}$

b) $\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2}{x+1}$

Vận dụng 1 trang 76 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Một cái hồ đang chứa $200 m^{3}$ nước mặn với nồng độ $10 kg/m^{3}$. Người ta ngọt hoá nước trong hồ bằng cách bơm nước ngọt vào hồ với tốc độ $2 m^{3}$/phút

a) Viết biểu thức C(t) biểu thị nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm

b) Tìm giới hạn $\lim_{t\rightarrow +\infty }C(t)$ và giải thích ý nghĩa

5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

Khám phá 5 trang 77 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{x-1}$ có đồ thị như Hình 4.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị f(x) khi x dần tới 1 phía bên phải?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị f(x) khi x dần tới 1 phía bên trái?

Thực hành 5 trang 78 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\frac{2x}{x-3}$

b) $\lim_{x\rightarrow +\infty }(3x-1)$

Vận dụng 2 trang 78 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xét tình huống ở mở đầu bài học. Gọi x là hoành độ điểm H. Tính diện tích S(x) của hình chữ nhật theo x. Diện tích này thay đổi thế nào khi $x\rightarrow 0^{+}$ và khi $x\rightarrow +\infty $

Bài tập

Bài tập 1 trang 79 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\rightarrow -2}(x^{2}-7x+4)$

b) $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-3}{x^{2}-9}$

c) $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}$

Bài tập 2 trang 79 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}-x^{2}; x<1\\x; x\geq 1\end{matrix}\right.$

Tìm các giới hạn $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)$; $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)$; $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ (nếu có)

Bài tập 3 trang 79 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm các giới hạn sau: 

a) $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{4x+3}{2x}$

b) $\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2}{3x+1}$

c) $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}$

Bài tập 4 trang 79 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: 

a) $\lim_{x\rightarrow -1^{+}}\frac{1}{x+1}$

b) $\lim_{x\rightarrow -\infty }(1-x^{2})$

c) $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\frac{x}{3-x}$

Bài tập 5 trang 79 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là $C(t)= \frac{30t}{400+t}$ (gam/lít)

b) Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu $t\rightarrow +\infty $

Bài tập 6 trang 79 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f>0 không đổi. Gọi d và d' lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức $\frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f}$ hay $d'=\frac{df}{d-f}$

Xét hàm số $g(d) = \frac{df}{d-f}$. Tìm các giới hạn sau đây là giải thích ý nghĩa

a) $\lim_{d\to f^{+}}g(d)$

b) $\lim_{d\to +\infty }g(d)$