Giải bài tập toán lớp 11 chân trời sáng tạo bài 3 Cấp số nhân

Câu hỏi mở đầu

Một quả bóng rơi từ một vị trí có độ cao 120 cm. Khi chạm đất, nó luôn nảy lên độ cao bằng một nửa độ cao của lần rơi trước đó.

Gọi $u_{1} = 120$ là độ cao của lần rơi đầu tiên và $u_{2}; u_{3};...;u_{n};...$ là độ cao của các lần rơi kế tiếp. Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy $(u_{n})$ và tìm điểm đặc biệt của dãy số đó.

1. Cấp số nhân

Khám phá 1 trang 57 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: 

a) Tìm thương của hai số hạng liên tiếp trong dãy: 2; 4; 8; 16; 32; 64

b) Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau:

i) 3; 6; 12; 24; 48

ii) $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8};\frac{1}{16}$

iii) 2; -6; 18; -54; 163; -486

Thực hành 1 trang 58 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho ba số tự nhiên m, n, p theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh ba số $2^{m}, 2^{n}, 2^{p}$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Vận dụng 1 trang 58 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Một quốc gia có dân số năm 2011 là P triệu người. Trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm dân số tăng a%. Chứng minh rằng dân số các năm từ 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạo thành cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân này.

Vận dụng 2 trang 58 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ tạo thành cấp số nhân. Biết tần số của hai phím Sol và Si lần lượt là 415 Hz và 466 Hz. Tính tần số của phím La (làm tròn đến hàng đơn vị)

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Khám phá 2 trang 59 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có công bội q. Tính $u_{2}, u_{3}, u_{4}$ và $u_{10}$ theo $u_{1}$ và $q$

Thực hành 2 trang 59 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Viết công thức số hạng tổng quát $u_{n}$ theo số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q$ của các cấp số nhân sau:

a) 5; 10; 20; 40; 80;...

b) $1; \frac{1}{10}; \frac{1}{100}; \frac{1}{1000}; ....$

Vận dụng 3 trang 59 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày, nghĩa là sau 138 ngày, khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa. Tính khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau:

a) 690 ngày

b) 7314 ngày (khoảng 20 năm)

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Khám phá 3 trang 59 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có công bội q. Đặt $S_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n}$

a) So sánh $q.S_{n}$ và $(u_{2}+u_{3}+...+u_{n}) + q.u_{n}$

b) So sánh $u_{1}+q.S_{n}$ và $S_{n}+u_{1}.q^{n}$

Thực hành 3 trang 60 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân $(u_{n})$ trong các trường hợp sau:

a) $u_{1}=10^{5}; q = 0,1; n=5$

b) $u_{1}=10^{5}; u_{2}=-20; n=5$

Vận dụng 4 trang 60 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong bài toán ở mở đầu bài học, tính tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên

Bài tập

Bài tập 1 trang 60 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

a) $u_{n}=3(-2)^{n}$

b) $u_{n}=(-1)^{n+1}.7^{n}$

c) $\left\{\begin{matrix}u_{n}=1\\u_{n+1}=2u_{n}+3\end{matrix}\right.$

Bài tập 2 trang 60 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân $(u_{n})$ biết:

a) $\left\{\begin{matrix}u_{5}-u_{1}=15\\u_{4}-u_{2}=6\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}u_{1}-u_{3}+u_{5}=65\\u_{1}+u_{7}=325\end{matrix}\right.$

Bài tập 3 trang 60 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: 

a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất

b) Viết sáu số xen vào giữa các số -2 và 256 để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp thì số hạng thứ 15 là bao nhiêu?

Bài tập 4 trang 60 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Ba số $\frac{2}{b-a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b-c}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân

Bài tập 5 trang 60 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tính các tổng sau:

a) $S_{n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{3^{n}}$

b) $S_{n}=9 + 99 + 999 + ...+999...9$ (n chữ số 9)

Bài tập 6 trang 60 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Một loại vị khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút.

Bài tập 7 trang 61 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75%

a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032.

b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022?

Bài tập 8 trang 61 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ được dây ăn toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược lên 60% chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện cú nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là 9m

a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba

b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần đầu