Giải bài tập toán lớp 11 chân trời sáng tạo bài 1 Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Câu hỏi mở đầu

Môn học Hình học phẳng tìm hiểu tính chất của các hình cùng thuộc một mặt phẳng. Môn học Hình học không gian tìm hiểu tính chất của các hình trong không gian, những hình này có thể chứa những điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy phân loại các hình sau đâu thành hai nhóm hình khác nhau.

1. Mặt phẳng trong không gian

Khám phá 1 trang 88 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Mặt bàn, mặt phẳng cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng. Hãy chỉ thêm các ví dụ khác về hình ảnh của một phần mặt phẳng.

Thực hành 1 trang 89 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: 

a) Vẽ hình biểu diễn của một hình hộp chữ nhật

b) Quan sát Hình 4a và cho biết điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc mặt phẳng (P)

c) Quan sát Hình 4b và cho biết điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc mặt phẳng (Q)

2. Các tính chất được thừa nhận của hình học không gian

Khám phá 2 trang 89 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Quan sát Hình 5 và cho biết muốn gác một cây sào tập nhảy cao, người ta cần dựa nó vào mấy điểm trên 2 cọc đỡ.

Thực hành 2 trang 90 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong bốn điểm đã cho?

Khám phá 3 trang 90 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Quan sát Hình 7 và cho biết giá đỡ máy ảnh tiếp đất tại mấy điểm. Tại sao giá đỡ máy ảnh thường có ba chân?

Thực hành 3 trang 90 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba đỉnh của tam giác MNP?

Khám phá 4 trang 90 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Quan sát Hình 10 và cho biết người thợ mộc kiểm tra mặt bàn có phẳng hay không bằng một cây thước thẳng như thế nào?

Thực hành 4 trang 91 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho mặt phẳng (Q) đi qua bốn đỉnh của tứ giác ABCD. Các điểm nằm trên các đường chéo của tứ giác ABCD có thuộc mặt phẳng (Q) không? Giải thích

Khám phá 5 trang 91 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Quan sát Hình 13 và cho biết bốn đỉnh A,B,C,D của cái bánh giò có cùng nằm trên một mặt phẳng hay không.

Thực hành 5 trảng 91 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho tam giác MNP và cho điểm O không thuộc mặt phẳng chứa ba điểm M, N, P. Tìm các mặt phẳng phân biệt được xác định từ bốn điểm M, N, P, O

Khám phá 6 trang 92 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Quan sát Hình 14 và mô tả phần giao nhau của hai bức tường.

Thực hành 6 trang 91 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt $(\alpha)$ và $(\beta)$ (Hình 16). Chứng minh A, B, C thẳng hàng

Khám phá 7 trang 92 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC (Hình 17). Tính tỉ số $\frac{MN}{BC}$.

Vận dụng 1 trang 93 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tại sao muốn đóng mở cánh cửa được êm thì các điểm gán bản lề A, B, C (Hình 19) phải cùng nằm trên một đường thẳng?

3. Cách xác định mặt phẳng

Khám phá 8 trang 94 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho đường thẳng a và điểm A không nằm trên a. Trên a lấy hai điểm phân biệt B, C. Đường thẳng a có nằm trong (ABC) không? Giải thích

Khám phá 9 trang 95 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Hai đường thẳng phân biệt a và b cắt nhau tại O. Trên a,b lấy lần lượt hai điểm M, N khác O. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm M, N, O (Hình 25). Mặt phẳng (P) có chứa cả hai đường thẳng a và b không? Giải thích.

Thực hành 7 trang 95 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O và điểm M không thuộc mp(a,b)

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (M,a) và (M,b)

b) Lấy A, B lần lượt là hai điểm trên a, b và khác với điểm O. Tìm giao tuyến của (MAB) và mp(a,b)

c) Lấy điểm A' trên đoạn MA và điểm B' trên đoạn MB sao cho đường thẳng A'B' cắt mp(a,b) tại C. Chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng.

Vận dụng 2 trang 95 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Giải thích tại sao ghế bốn chân có thể bị khập khiễng còn ghế ba chân thì không.

Vận dụng 3 trang 95 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong xây dựng, người ta thường dùng máy quét tia laser để kẻ các đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà. Tìm giao tuyến của mặt phẳng được tạo bởi các tia laser OA và OB với các mặt tường trong Hinh 29.

4. Hình chóp và hình tứ diện

Khám phá 10 trang 96 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: 

a) Các công trình kiến trúc, đồ vật trong Hình 30 có mặt bên là hình gì

b) Tìm điểm giống nhau của các hình trong Hình 31.

Khám phá 11 trang 97 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong Hình 34, hình chóp nào có số mặt ít nhất?

Thực hành 8 trang 98 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho tứ diện SABC. Gọi H, K lần lượt là hai điểm trên hai cạnh SA< SC ($H \neq A, A;K \neq S,C$) sao cho HK không song song với AC. Gọi I là trung điểm của BC (Hình 38)

a) Tìm giao điểm của đường thẳng HK và mặt phẳng (ABC)

b) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAI) và (ABK); (SAI) và (BCH)

Vận dụng 4 trang 98 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD. Trên các cạnh bên của hình chóp lấy lần lượt các điểm A', B', C', D'. Cho biết AC cắt BD tại O, A'C' cắt B'D' tại O', AB cắt DC tại E và A'B' cắt D'C' tại E' (Hình 39). Chứng minh rằng:

a) S, O', O thẳng hàng

b) S, E', E thẳng hàng

Vận dụng 5 trang 98 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Nếu các tạp lập tứ diện đều SABC từ tam giác đều SS'S" theo gợi ý ở Hình 40

Bài tập

Bài tập 1 trang 99 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Lấy M,N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC.

a) Chứng minh đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (SAC)

b) Chứng minh O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)

Bài tập 2 trang 99 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.

a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD). Chứng minh IA = 2IM.

b) Tìm giao điểm E của đường thẳng SD và mặt phẳng (ABM).

c) Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD)

Bài tập 3 trang 99 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD; P thuộc đoạn SC và không là trung điểm của SC.

a) Tìm giao điểm E của đường thẳng SO và mặt phẳng (MNP)

b) Tìm giao điểm Q của đường thẳng SA và mặt phẳng (MNP)

c) Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của QM và AB, QP và AC, QN và AD. Chứng minh I, J, K thẳng hàng

Bài tập 4 trang 99 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I ($I \neq C$), EG cắt AD tại H ($H \neq D$)

a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (EFG) và (BCD); (EFG) và (ACD)

b) Chứng minh ba đường thẳng CD, IG, HF cùng đi qua một điểm

Bài tập 5 trang 99 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Thước laser phát ra tia laser, khi tia này quay sẽ tạo ra mặt phẳng ánh sáng (Hình 41). Giải thích tại sao các thước kẻ laser lại giúp người thợ xây dựng kẻ được đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà.