Bài tập 3.19 trang 37 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 kết nối:Cho tam giác ABC không vuông tại...

a) Ta có:
- $\widehat{DAE} = 180^\circ$ (cùng trên dạng góc)
- $\widehat{DAE} + \widehat{DAB} + \widehat{BAC} + \widehat{CAE} = 360^\circ$ (tổng góc trong tam giác)
- $\widehat{BAC} + \widehat{DAE} = 180^\circ$ (do tam giác vuông cân)

Vậy $\widehat{ADI} = \widehat{BAC}$

Xét tam giác ADI và BAC, ta có:
- AD = AB (vuông cân tại A)
- DI = AC (vì AEID là hình bình hành nên AE = DI = AC)
- $\widehat{ADI} = \widehat{BAC}$

Nên tam giác ADI = tam giác BAC.

b) Gọi H là giao điểm giữa AI và BC. Ta có:
$\widehat{DAI} + \widehat{DAB} + \widehat{BAH} = 180^\circ$
$\widehat{DAI} + \widehat{BAH} = 90^\circ$
$\widehat{ABH} + \widehat{BAH} = 90^\circ$

Trong tam giác ABH, ta có $\widehat{BAH} + \widehat{ABH} + \widehat{AHB} = 180^\circ$
$\Rightarrow \widehat{AHB} = 90^\circ$ hay AI vuông góc với BC.

c) Từ phần b) ta biết rằng AI vuông góc với BC. Nên $\widehat{BAI} = 90^\circ - \widehat{BAC} = \widehat{CAD}$ và $\widehat{CAE} = \widehat{BAC}$.

Khi đó, tam giác BAE = tam giác CAD (cùng chứng minh như phần a)).

Xét giao điểm của DC và BE là J, ta có $\widehat{JBA} = \widehat{DPA}$.

Gọi P là giao điểm của AB và CD. Vậy $\widehat{PDA} + \widehat{DPA} = 90^\circ$.

Do đó, $\widehat{PDA} = \widehat{JBP}$ và $\widehat{DPA} = \widehat{BPJ$.

Nên $\widehat{JBP} + \widehat{BPJ} = 90^\circ$ hay $\widehat{PJB} = 90^\circ$ và CD vuông góc với BE.

d) Ta có:
- $\widehat{DAK} = 45^\circ$ (do AK là đường trung tuyến của tam giác ABD)
- $\widehat{ABK} = \widehat{BAK} = 45^\circ$ (do tam giác ABD vuông cân tại A, thì KA = KB)

Vậy tam giác DABK vuông cân tại K.

Khi đó, tam giác AKI = tam giác BKC (cùng cmt như phần a)).

Nên KI = KC và KI vuông góc với KC.