Bài 4: Cho 3 số dương x , y , z thỏa mãn : x + y + z = 2 .Tìm GTNN của biểu thức :...
Câu hỏi:
Bài 4: Cho 3 số dương x , y , z thỏa mãn : x + y + z = 2 .
Tìm GTNN của biểu thức : $P=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{y+x}$
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Văn Huy
Để giải bài toán này, ta sử dụng định lí Cauchy-Schwarz như sau:Theo định lí Cauchy-Schwarz, ta có:\[ \left(\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{y+x}\right) \left((y+z)+(z+x)+(y+x)\right) \geq (x+y+z)^2 \]Do đó:\[ \frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{y+x} \geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)} = \frac{x+y+z}{2} = 1 \]Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1, đạt được khi x=y=z=2/3.Vậy câu trả lời cho câu hỏi là: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1, đạt được khi x=y=z=2/3.
Câu hỏi liên quan:
- Bài 1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$.Tìm GTNN...
- Bài 2: Tìm GTNN của biểu thức : $A=\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{x_{2}+x+1}$.
- Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức : $A=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$ với x ,...
- Bài 5:Cho x , y ,z > 0 và x + y + z = 1Tìm GTNN của...
Với x, y, z là các số dương thỏa mãn x + y + z = 2, ta có x^2 + y^2 + z^2 >= (x + y + z)^2/3 = 4/3. Vậy GTNN của P là 4/3.
Do đó, để tìm GTNN của biểu thức P, ta cần tìm GTNN của biểu thức x^2 + y^2 + z^2
Vì x + y + z = 2 nên thay vào biểu thức trên ta có: P = (x^2 + y^2 + z^2)/2
Áp dụng định lí Rearrangement ta có: P = (x^2 + y^2 + z^2)/(x + y + z)
Ta có biểu thức cần tìm GTNN là P = x^2/(y+z) + y^2/(z+x) + z^2/(y+x)