Bài 1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$.Tìm GTNN...

Để giải bài toán này, ta sử dụng bất đẳng thức Cô-si và phương pháp giải hệ phương trình.

Phương pháp giải:

Ta có điều kiện $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$ và cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\sqrt{x}+\sqrt{y}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho $\frac{1}{x},\frac{1}{y} > 0$, ta có:

$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \geq \sqrt{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y}}$

Suy ra: $\frac{1}{4} \geq \frac{1}{\sqrt{xy}} \Rightarrow \sqrt{xy} \geq 4$

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho $\sqrt{x}, \sqrt{y} \geq 0$, ta có:

$\sqrt{x} + \sqrt{y} \geq 2\sqrt{\sqrt{xy}} \geq 2\sqrt{4} = 4$

Vậy ta có $A \geq 4$, và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là 4.

Để tìm giá trị $x$ và $y$ thỏa mãn điều kiện và $A=4$, ta giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x=y & \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right. $

Từ hệ phương trình trên, ta suy ra $x=y=4$.

Vậy câu trả lời cho câu hỏi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là 4, và $x=y=4$.