Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức : $A=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$ với x ,...

Phương pháp giải:
Vì \(x, y, z > 0\) nên ta có \(\frac{x}{y} > 0\), \(\frac{y}{z} > 0\), \(\frac{z}{x} > 0\).
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương \(\frac{x}{y}\), \(\frac{y}{z}\), \(\frac{z}{x}\) ta có:
\[A = \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{x}} = 3.\]
Vậy \(A_{\text{min}} = 3\) khi và chỉ khi \(\frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{x}\) tức là \(x = y = z\).

Câu trả lời: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}\) là 3, và đạt được khi \(x = y = z\).